LA STRANA TEORIA DELLA LUCE E DELLA MATERIA

Inauguro oggi , una serie di letture di libri  che muovono la mia curiosita` e che spero muovano anche la vostra. Divisi in piu` parti , nell'ordine di una parte per settimana, al fine di non annoiarmi e annoiarvi.
   In questo libro, con stupefacente chiarezza, un grande fisico ci spiega come tutto cio che
percepiamo dipenda da accadimenti naturali che violano ogni aspettativa del senso comune. La via
scelta e la seguente: guidare, come in un vero tour de force, ogni testa pensante negli impensabili
meandri dell'elettrodinamica quantistica (abbreviata nella sigla QED del titolo). Feynman procede
dunque mantenendo sempre la spiegazione in stretto contatto con l'esame di varie esperienze
fisiche, cosi da farci entrare, improbabilmente, nella mente dello scienziato che le osserva (e, per
certi fenomeni, la prima mente che osservava fu proprio la sua).


Richard P. Feynman



 
QED


LA STRANA TEORIA DELLA LUCE
E DELLA MATERIA

PREMESSA

Le Alix G. Mautner Memorial Lectures sono state concepite per onorare la memoria di mia moglie Alix, morta nel 1982. Oltre ai suoi interessi professionali, che riguardavano la letteratura inglese, Alix coltivò sempre una vivissima curiosità per molti settori della scienza. Sulla spinta del suo esempio, è stato quindi deciso di creare una fondazione a suo nome avente come scopo di finanziare un ciclo di conferenze, da tenersi ogni anno, il cui obiettivo sia di comunicare a un pubblico intelligente e avvertito lo spirito e le conquiste della scienza.
Con mio enorme piacere Richard Feynman ha accettato di tenere la prima serie di queste conferenze. L'amicizia tra me e Richard è ormai vecchia di cinquantacinque anni, essendo nata quando eravamo bambini insieme a Far Rockaway, nello Stato di New York. Quella tra lui e Alix cominciò ventidue anni fa. In nome di questa amicizia Alix a lungo cercò di persuaderlo a formulare un'esposizione della fisica delle particelle che fosse comprensibile a lei e a tutti i non fisici.
Un sentito ringraziamento va a tutti coloro che hanno generosamente contribuito alla Fondazione Alix G. Mautner, aiutando così a rendere possibili queste conferenze.
 
Leonard Mautner
Los Angeles, California
Maggio 1983


PREFAZIONE

Richard Feynman è leggendario nel mondo della fisica per il suo modo di guardare alla realtà: la sua assenza di preconcetti e la sua indipendenza di pensiero gli hanno sovente permesso di raggiungere una comprensione nuova e profonda del comportamento della natura, e di darne descrizioni che sono insieme semplici, eleganti e stimolanti.
Feynman è anche famoso per il suo entusiasmo di maestro. Rifiuta innumerevoli offerte di tenere conferenze per società e organizzazioni prestigiose, ma è sempre disponibile per lo studente che vada a chiedergli di parlare al club di fisica del suo liceo.
Questo libro è un'impresa che non ci risulta sia mai stata tentata prima: esporre in modo piano e senza infingimenti, per un pubblico di non specialisti, un argomento non poco difficile come la teoria dell'elettrodinamica quantistica. Lo scopo è di dare al lettore non specialista un'idea delle forme di pensiero a cui i fisici sono ricorsi per poter spiegare il comportamento della Natura.
Il lettore che stia progettando di studiare fisica, o che lo stia già facendo, lungi dal dover «disimparare» qualcosa leggendo questo libro, vi troverà una descrizione completa e accurata in ogni dettaglio di una struttura teorica alla quale è possibile collegare, senza alcuna modifica, concetti più avanzati. A coloro che hanno già studiato fisica, questo libro rivelerà che cosa in realtà si nascondeva dietro tutti i loro calcoli complicati.
La curiosità per il calcolo infinitesimale venne al giovanissimo Richard Feynman da un libro che si apriva con queste parole: «Ciò che è possibile a uno sciocco è possibile a tutti gli altri». Egli vuole dedicare questo libro ai suoi lettori con parole simili: «Ciò che è comprensibile a uno sciocco, è comprensibile a tutti gli altri».
 
Ralph Leighton


Pasadena, California
Febbraio 1985


RINGRAZIAMENTI

Questo libro contiene il testo delle lezioni sull'elettrodinamica quantistica da me tenute all'UCLA (University of California, Los Angeles), trascritte e redatte dal mio buon amico Ralph Leighton; alla sua preziosa esperienza di insegnante e di scrittore devo i molti miglioramenti del testo originale che permettono di presentare questa parte fondamentale della fisica a un pubblico più vasto.
Molte «volgarizzazioni» scientifiche raggiungono un'apparente semplicità solo a costo di descrivere qualcosa di diverso da ciò che affermano di descrivere, e anzi di notevolmente distorto. Il rispetto per l'argomento trattato non ci ha permesso di fare altrettanto. Attraverso molte ore di discussione ci siamo sforzati di raggiungere la massima semplicità e trasparenza, rinunciando però a qualsiasi compromesso che portasse a una distorsione della verità.
 
Richard P. Feynman



I
INTRODUZIONE

Alix Mautner aveva grande curiosità per la fisica e spesso mi chiedeva di spiegarle questa o quella cosa. All'inizio tutto filava liscio, come nell'ora del giovedì con i miei studenti del Caltech,1 ma ogni volta finivamo con l'arenarci proprio su quella che secondo me è la parte più interessante: le folli idee della meccanica quantistica. Per spiegarle, le ripetevo, ci voleva assai più tempo che non un'ora o una serata, e così le promisi che un giorno avrei preparato una serie di lezioni su questo argomento.
Quando le lezioni furono pronte, andai a provarle in Nuova Zelanda, la cui lontananza dal resto del mondo mi tranquillizzava: se avessero fatto fiasco, poco male! Invece ebbero successo, sicché mi sento autorizzato a credere che funzionino (se non altro in Nuova Zelanda!). Eccole dunque raccolte in questo libro. Purtroppo Alix, a cui erano destinate, ora non può più ascoltarle.
Contrariamente a quanto si fa di solito in lezioni del genere, la parte della fisica di cui parlerò è già conosciuta. Il pubblico è sempre curioso di sapere cosa c'è di nuovo nell'unificazione di questa teoria con quell'altra teoria. Vuole sempre sapere ciò che non sappiamo, e non ci dà mai la possibilità di parlare delle teorie che conosciamo bene. Così, invece di confondervi le idee con un mucchio di teorie parzialmente elaborate, di teorie ancora ‘mezze-crude’, ho scelto un argomento che è stato analizzato a fondo e che appartiene a un'area della fisica che io trovo meravigliosa: l'elettrodinamica quantistica o, per brevità, QED.2
In queste lezioni mi propongo innanzitutto di descrivere, con la maggior accuratezza possibile, la strana teoria della luce e della materia o, specificamente, l'interazione tra la luce e gli elettroni. Le cose da spiegare sono molte, ma poiché abbiamo a disposizione quattro lezioni, me la potrò prendere con calma e vedrete che tutto andrà bene.
La fisica, per lunga tradizione, ama sintetizzare molti fenomeni in poche teorie. Per esempio, nei primi tempi della fisica moderna i fenomeni del moto e quelli del calore erano considerati distinti tra loro, così come i fenomeni del suono, della luce e della gravità. Ma dopo che Sir Isaac Newton ebbe spiegato le leggi del moto, si scoprì ben presto che alcuni di questi fenomeni in apparenza diversi erano in realtà aspetti della stessa cosa. Per esempio, il suono poteva essere completamente spiegato come moto degli atomi dell'aria, sicché non venne più considerato come qualcosa di diverso dal moto. Poi si scoprì che anche i fenomeni del calore sono facilmente comprensibili sulla base delle leggi del moto, e fu così che intere sezioni della fisica vennero unificate in una teoria più semplice. La teoria della gravitazione, invece, non era comprensibile a partire dalle leggi del moto e ancor oggi resta separata dalle altre teorie. La gravitazione, almeno sinora, non è spiegabile in termini di altri fenomeni.
Dopo la sintesi del moto, del suono e del calore, vi fu la scoperta di un gran numero di fenomeni chiamati elettrici e magnetici. Nel 1873 James Clerk Maxwell li sintetizzò tutti in un'unica teoria con la luce e con i fenomeni ottici, interpretando la luce come onda elettromagnetica. Si era in tal modo arrivati a tre sistemi distinti di leggi: le leggi del moto, le leggi dell'elettromagnetismo e le leggi della gravità.
Intorno al 1900, per spiegare la costituzione della materia, venne elaborata una teoria, nota come «teoria dell'elettrone», secondo la quale all'interno degli atomi vi sono delle piccole particelle cariche, appunto gli elettroni. Essa si sviluppò poi gradualmente fino a culminare nell'ipotesi che l'atomo è formato da un nucleo pesante e dagli elettroni che gli girano attorno.
Si trattava, a questo punto, di spiegare il moto degli elettroni attorno al nucleo sulla base delle leggi della meccanica (così come Newton aveva fatto per il moto della Terra attorno al sole). Ma i tentativi in questo senso furono un completo fallimento: tutte le predizioni risultarono sbagliate. (Per inciso, pressappoco nello stesso periodo fu sviluppata la teoria della relatività, che certamente conoscete come una grande rivoluzione della fisica. Se però la si paragona con la scoperta che le leggi del moto di Newton risultano del tutto erronee quando sono applicate agli atomi, la teoria della relatività appare solo una modifica secondaria). Mettere a punto un altro sistema di leggi che sostituisse quelle di Newton richiese parecchio tempo, perché i fenomeni atomici risultavano decisamente strani. Per poter cogliere ciò che accade a livello atomico bisognava rinunciare al comune buon senso. Infine nel 1926 venne sviluppata una teoria «priva di buon senso» che spiegava l'«inusitato comportamento» degli elettroni nella materia. Sembrava una teoria assurda, ma in realtà non lo era: fu chiamata meccanica quantistica. La parola «quanto» si riferisce a questo peculiare aspetto della natura che va contro il buon senso, ed è proprio di questo aspetto che ho intenzione di parlare.
La teoria quantistica ha permesso di spiegare un'infinità di particolari, ad esempio perché un atomo di ossigeno si combina con due di idrogeno per formare l'acqua, e così via. La meccanica quantistica ha dunque fornito la teoria che sottostà alla chimica, sicché si può dire che la chimica teorica fondamentale è in realtà un aspetto della fisica.
La meccanica quantistica ebbe un successo straordinario, perché poteva spiegare tutta la chimica e le diverse proprietà delle sostanze. Rimaneva però ancora il problema dell'interazione della luce con la materia. Occorreva cioè modificare la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell per metterla in accordo con i nuovi princìpi quantistici. Nel 1929 venne ideata da diversi fisici una nuova teoria che descrive l'interazione quantistica della luce con la materia, e che fu battezzata con l'orribile nome di «elettrodinamica quantistica».
Questa teoria presentava tuttavia dei problemi. Se la si usava per calcolare solo grossolanamente una grandezza fisica, si otteneva una risposta ragionevole. Ma quando si affrontavano calcoli più accurati, si scopriva che correzioni che si presupponevano piccole (termini successivi in una serie, ad esempio) risultavano invece molto grandi, anzi infinite! Insomma, al di là di una certa precisione non si riusciva a calcolare nulla.
Devo dire che quella che ho appena delineato è una «storia della fisica vista da un fisico», una storia, cioè, che non è mai del tutto veridica, una specie di storia-mito convenzionale che i fisici raccontano ai loro studenti, i quali la raccontano ai loro studenti, e che non è necessariamente collegata all'effettivo sviluppo storico (a me peraltro sconosciuto!).
Ad ogni modo, per continuare con questa ‘storia’, Paul Dirac, sulla base della teoria della relatività, formulò una teoria relativistica dell’elettrone nella quale però non si teneva conto degli effetti dell’interazione dell'elettrone con la luce. La teoria di Dirac prevede che l'elettrone si comporti come un piccolo magnete, caratterizzato da un momento magnetico che vale esattamente 1 in certe unità di misura. Intorno al 1948 fu scoperto sperimentalmente che il valore effettivo è invece prossimo a 1,00118 (con un’incertezza di circa 3 sull’ultima cifra). Naturalmente si sapeva che l’elettrone interagisce con la luce, per cui ci si aspettava una piccola correzione. Si riteneva pure che essa fosse spiegabile in base alla nuova teoria dell’elettrodinamica quantistica. Ma quando la si calcolò, invece di 1,00118, si ottenne infinito, il che è sbagliato, sperimentalmente!
Il problema di come calcolare le grandezze fisiche in elettrodinamica quantistica fu infine risolto da Julian Schwinger, da Sin-Itiro Tomonaga e dal sottoscritto intorno al 1948. Schwinger fu il primo a calcolare la correzione al valore del momento magnetico dell’elettrone ricorrendo a un «gioco di bussolotti»; il valore teorico da lui ottenuto fu circa 1,00116, sufficientemente vicino al numero dato dagli esperimenti per dimostrare che eravamo sulla buona pista. Finalmente avevamo una teoria quantistica dell’elettromagnetismo nella quale era possibile portare a termine i conti! Questa è la teoria che vi voglio presentare.
L’elettrodinamica quantistica ha ormai più di cinquant’anni ed è stata verificata con accuratezza sempre maggiore in situazioni sempre più varie. Al momento attuale posso dire con orgoglio che non vi è discrepanza significativa tra la teoria e gli esperimenti.
Ecco, ad esempio, alcuni valori recenti che fanno capire quanto la teoria sia stata messa sotto il torchio: gli esperimenti danno per il numero di Dirac il valore di 1,00115965221 (con un’incertezza di circa 4 sull’ultima cifra); la teoria prevede 1,00115965246 (con un’incertezza circa cinque volte maggiore). Per darvi un’idea della precisione di questi numeri, pensate che se si misurasse con la stessa precisione la distanza tra New York e Los Angeles, si avrebbe un risultato approssimato a meno dello spessore in un capello umano. Questo per dirvi con quanta raffinatezza l’elettrodinamica quantistica è stata verificata negli ultimi cinquant’anni, sia sul piano teorico che su quello sperimentale. Ho citato un solo esempio, ma le grandezze misurate con analoga precisione sono molte e tutte risultano in perfetto accordo con le previsioni dell’elettrodinamica quantistica. Sono stati fatti controlli su una scala di distanze che variano da un centinaio di volte le dimensioni della Terra fino a un centesimo di quelle del nucleo atomico. Ho citato questi dati per far colpo e convincervi così che, verosimilmente, la teoria non è del tutto fuori strada. Più avanti vi spiegherò come si fanno questi calcoli.
Vorrei ancora una volta sottolineare l’enorme varietà dei fenomeni descritti dall’elettrodinamica quantistica. Anzi, è più facile dirlo alla rovescia: questa teoria descrive tutti i fenomeni del mondo fisico tranne la forza di gravità, cioè la forza che in questo momento vi tiene seduti al vostro posto (a meno che non sia una combinazione di gravità e di cortesia), e i fenomeni radioattivi, che riguardano i nuclei e le transizioni tra i loro livelli energetici. Mettendo da parte la gravità e la radioattività, che cosa rimane? La combustione della benzina nelle automobili, la schiuma e le bolle, la durezza del sale o del rame, la rigidità dell’acciaio. Inoltre, i biologi stanno cercando di interpretare anche i fenomeni biologici in termini chimici, e, come ho già spiegato, la chimica poggia sull’elettrodinamica quantistica.
A questo punto è necessario chiarire una cosa: ho detto che questa teoria può spiegare tutti i fenomeni del mondo fisico, ma questo non è vero nella pratica.
La maggior parte dei fenomeni a noi noti interessa un numero così grande di elettroni che le nostre povere menti faticano a orientarsi in tale complessità. In simili situazioni possiamo usare la teoria per capire grosso modo ciò che dovrebbe accadere, e in effetti ciò che accade è appunto quanto previsto, grosso modo. Se però si organizza un esperimento di laboratorio che coinvolge solo pochi elettroni in circostanze semplici, si è in grado di calcolare con grande accuratezza quanto può accadere, e anche di eseguire misure molto precise. Ogni volta che sono stati eseguiti esperimenti di questo genere, l'elettrodinamica quantistica ha funzionato perfettamente.
Noi fisici stiamo sempre attenti a verificare se c'è qualche intoppo in una teoria, e il bello sta proprio qui, perché un eventuale intoppo è una cosa quanto mai interessante. Ma finora la teoria dell'elettrodinamica quantistica non ha rivelato alcuna pecca, ed è quindi, direi, il gioiello della fisica, la creatura di cui andare più fieri.
L'elettrodinamica quantistica è anche il prototipo per le teorie più recenti che cercano di spiegare i fenomeni nucleari, cioè quello che accade all'interno dei nuclei atomici. Se si immagina il mondo fisico come un palcoscenico, gli attori non sono solo gli elettroni, che negli atomi stanno all'esterno del nucleo, ma anche i quark, i gluoni e le dozzine di particelle che si trovano al suo interno. E questi ‘attori’, sebbene diversissimi l'uno dall'altro, hanno tutti lo stesso stile, uno stile strano e peculiare, lo stile «quantistico». Alla fine di queste lezioni racconterò qualcosa anche sulle particelle nucleari; ma nel frattempo, per rendere le cose più semplici, parlerò solo di fotoni, le particelle di luce, e di elettroni. Perché l'aspetto più importante, e anche il più interessante, è il loro modo di comportarsi.
Ho così chiarito l'argomento di queste lezioni. Ma ora sorge un'altra domanda: capirete quello che dirò? Chi va a sentire una conferenza scientifica è già pronto a non capire niente, però, chissà, forse potrà consolarsi ammirando la bella cravatta sgargiante del conferenziere. A voi questo non è possibile. [Feynman è senza cravatta].
Le cose di cui parlerò le insegniamo agli studenti di fisica degli ultimi anni di università: ora, voi pensate che io riuscirò a spiegarle in modo da farvele capire? Ebbene, no, non le capirete. Perché, allora, farvi perdere del tempo? Perché tenervi qui seduti, se non sarete in grado di capire ciò che dirò? Per convincervi a non andar via solo perché questa conferenza vi risulterà incomprensibile, vi dirò che anche i miei studenti di fisica non capiscono queste cose. E non le capiscono perché non le capisco nemmeno io. Il fatto è che non le capisce nessuno.
Permettetemi alcune considerazioni su che cosa significhi «capire». Una conferenza può essere incomprensibile per diverse ragioni. Il conferenziere può essere un cattivo oratore, che non sa esprimersi con efficacia o dice le cose nell'ordine sbagliato, oppure può avere una pronuncia poco chiara. Quest'ultimo è un problema presto risolto: farò di tutto per tenere a freno il mio accento newyorkese!
Altre volte l'oratore, soprattutto se è un fisico, usa parole ordinarie in modo curioso. I fisici usano spesso in senso tecnico parole comuni quali «lavoro», «azione», «energia», e anche «luce», come si vedrà. Ma quando si parla di «lavoro» in fisica non si intende la stessa cosa di quando si parla di «lavoro» nella vita di ogni giorno. Nel corso di queste lezioni mi capiterà di adoperare, senza accorgermene, alcune di queste parole in un senso diverso dal consueto. Cercherò di controllarmi (è parte del mio compito), ma è un errore in cui è molto facile incorrere.
Un altro motivo per cui potreste pensare di non seguire quello che racconterò è che mentre io descriverò come funziona la Natura, voi non capirete perché la Natura funzioni così. Ma questo non lo capisce nessuno, e quindi io non ve lo so spiegare.
C'è infine un'altra possibilità: che alcune delle cose che vi dirò vi sembrino incredibili, inaccettabili, impossibili da mandar giù. In questi casi è come se calasse un sipario: uno smette di ascoltare. Io descriverò il comportamento della Natura, ma se a voi questo comportamento non piace, il vostro processo di comprensione ne risulterà intralciato. I fisici hanno imparato a convivere con questo problema: hanno cioè capito che il punto essenziale non è se una teoria piaccia o non piaccia, ma se fornisca previsioni in accordo con gli esperimenti. La ricchezza filosofica, la facilità, la ragionevolezza di una teoria sono tutte cose che non interessano. Dal punto di vista del buon senso l'elettrodinamica quantistica descrive una natura assurda. Tuttavia è in perfetto accordo con i dati sperimentali. Mi auguro quindi che riuscirete ad accettare la Natura per quello che è: assurda.
Per me parlare di questa assurdità è un divertimento, perché la trovo incantevole. Vi chiedo come favore di non mettervi a pensare ad altro solo perché non riuscite a credere che la Natura sia così strana. Ascoltatemi fino in fondo, e vedrete che alla fine ne sarete incantati anche voi.
Come farò a spiegarvi cose che non spiego ai miei studenti se non alla fine dei loro studi? Proverò a chiarirlo con un'analogia. I Maya, che nutrivano un grande interesse per Venere come ‘stella’ del mattino e ‘stella’ della sera, studiarono a fondo il problema di come prevedere accuratamente il sorgere e il tramontare di questo astro. Dopo alcuni anni di osservazioni, notarono che cinque cicli di Venere erano quasi uguali a otto dei loro «anni nominali» di 365 giorni (essi sapevano che il vero anno delle stagioni è differente e avevano fatto il conto anche rispetto ad esso). Per i loro calcoli, i Maya avevano inventato un sistema fatto di punti e di sbarrette che rappresentavano i numeri (zero compreso) e delle regole di calcolo che permettevano loro di prevedere non solo il sorgere e il tramontare di Venere, ma anche altri fenomeni celesti quali le eclissi lunari.
A quei tempi gli unici in grado di fare calcoli così elaborati erano pochi membri della casta sacerdotale. Immaginiamo ora di chiedere a uno di costoro come si esegue un certo passaggio nel calcolo della predizione del prossimo sorgere di Venere come stella del mattino: la sottrazione di due numeri. E supponiamo di non essere mai andati a scuola e quindi di non conoscere la sottrazione. Come farebbe il sacerdote maya per spiegarci cosa è una sottrazione?
Potrebbe scegliere fra due metodi: insegnarci il suo modo di rappresentare i numeri con punti e sbarrette e le regole per fare una «sottrazione», oppure descrivere ciò che sta facendo in concreto: «Mettiamo che si debba sottrarre 236 da 584. Prima si contano 584 fagioli e li si mette in una ciotola. Poi se ne tolgono 236 e li si mette da parte. Infine si contano i fagioli rimasti nella ciotola. Questo numero è il risultato della sottrazione di 236 da 584».
Al che voi potreste esclamare: «Per Quetzalcoatl, che barba! Contare fagioli, metterli dentro, tirarli fuori… che lavoraccio!».
Allora il sacerdote maya risponderebbe: «Ecco perché si adoperano le regole con le sbarrette e con i punti. Sono complesse, ma forniscono la risposta in modo molto più efficiente del metodo dei fagioli. Ciò che importa, però, è che non c'è nessuna differenza nella risposta: le apparizioni di Venere sono calcolabili sia contando i fagioli (sistema lento, ma facile da capire), sia usando le regole complicate (sistema molto più veloce, ma che richiede anni di studio)».
Capire come funzionano le sottrazioni (sempre che non le si debba realmente eseguire) non è poi tanto difficile. E io farò lo stesso: spiegherò quello che i fisici fanno per prevedere il comportamento della Natura, ma non insegnerò alcun trucco per farlo in modo efficiente. Come vedrete tra poco, per fare qualunque predizione ragionevole nell'ambito dell'elettrodinamica quantistica si dovrebbero tracciare un'infinità di piccole frecce su un foglio di carta. Ci vogliono sette anni di università per imparare a fare questi conti con disinvoltura. Questi sette anni voi li salterete bellamente, perché io vi spiegherò l'elettrodinamica quantistica facendovi vedere che cosa si fa in concreto. Spero solo che riuscirete a capirlo meglio di quanto facciano alcuni studenti!
Torniamo all'esempio dei Maya e facciamo un passo avanti: potremmo chiedere al sacerdote perché cinque cicli di Venere sono quasi uguali a 2920 giorni, cioè a otto anni. I perché della sua risposta potrebbero essere molti, ad esempio: «20 è un numero importante nel nostro sistema di numerazione, e dividendo 2920 per 20 si trova 146, che è uno più di un numero che può essere rappresentato in due modi diversi come somma di due quadrati», e così via. Ma una simile teoria non avrebbe in realtà nulla a che fare con Venere. Al giorno d'oggi ci si è resi conto che teorie del genere non servono a nulla. Perciò, ripeto, non ci occuperemo del perché del comportamento peculiare della Natura: non esistono buone teorie che diano conto di ciò.
Tutto quello che ho detto fin qui voleva mettervi nelle condizioni di spirito giuste per seguirmi. Altrimenti, tanto varrebbe andarcene tutti a casa. E adesso possiamo incominciare!
Partiamo dalla luce. La prima cosa di cui Newton si accorse, quando si mise a osservare i fenomeni luminosi, fu che la luce bianca è una sovrapposizione di vari colori. Egli, infatti, riuscì a separare la luce bianca in vari colori mediante un prisma; tuttavia, quando fece passare luce di un solo colore, ad esempio il rosso, attraverso un secondo prisma, osservò che essa non veniva ulteriormente separata. Ne concluse che la luce bianca è una sovrapposizione di diversi colori, ciascuno dei quali è puro nel senso che non può essere ulteriormente suddiviso.
(In realtà ogni colore può essere suddiviso ancora una volta, ma in modo differente: secondo la sua cosiddetta «polarizzazione». Questa proprietà della luce non è essenziale per capire le idee di base dell'elettrodinamica quantistica e quindi, per semplificare, non ne parlerò, anche se questo significherà non dare una descrizione assolutamente completa della teoria. Questa piccola semplificazione non toglierà nulla alla comprensione di ciò che dirò, e se la menziono è per una questione di scrupolo).
Durante queste lezioni, quando parlerò di «luce», non mi riferirò unicamente alla luce visibile, dal rosso al violetto. La luce che noi vediamo costituisce solo una parte di una lunga scala, analoga a quella musicale, in cui ci sono note più alte e note più basse di quelle udibili dall'orecchio umano. Il tipo di luce può essere caratterizzato da un numero, detto frequenza; all'aumentare di questo numero si passa dal rosso al blu, al violetto, all'ultravioletto. La luce ultravioletta non può essere vista, ma può impressionare una pellicola fotografica. È sempre luce, solo che il numero che la caratterizza è differente. (Guardiamoci da un'ottica troppo angusta: quello che ci rivelano i nostri strumenti personali, gli occhi, non esaurisce tutto ciò che esiste!). Se si continua ad aumentare la frequenza si trovano i raggi X, i raggi gamma e così via. Variando il numero nella direzione opposta, si va dal blu al rosso, alle onde infrarosse (calorifiche), alle onde della televisione, a quelle radio. Tutte queste cose io le chiamo «luce». In quasi tutti gli esempi che seguiranno, parlerò di luce rossa, ma l'elettrodinamica quantistica descrive i fenomeni relativi a tutto l'intervallo suddetto.
Newton pensava che la luce fosse fatta di particelle, da lui chiamate «corpuscoli», e aveva ragione (anche se a quella conclusione era giunto attraverso un ragionamento errato). Oggi si sa che la luce è costituita da particelle perché se si prende uno strumento molto sensibile che produce un ticchettio quando viene colpito dalla luce, i singoli «clic», quando la luce diventa più fioca, restano della stessa intensità e diventano solo meno frequenti. La luce è dunque un po’ come la pioggia: è fatta di tante ‘gocce’ chiamate fotoni, e quando è di un solo colore, le sue ‘gocce’ hanno tutte la stessa dimensione.
L'occhio umano è uno strumento molto sensibile: bastano cinque o sei fotoni per attivare una cellula nervosa e inviare un messaggio al cervello. Se l'evoluzione ci avesse portato a una sensibilità visiva dieci volte maggiore dell'attuale, non ci sarebbe stato bisogno di questa spiegazione: percepiremmo la luce molto fioca di un dato colore come una serie di piccoli lampi intermittenti, tutti della stessa intensità.
Per rivelare un singolo fotone, ci si serve di uno strumento chiamato fotomoltiplicatore (fig. 1). Colpendo la placca metallica A, un fotone provoca l'emissione di un elettrone da uno dei suoi atomi.


Fig. 1. Il fotomoltiplicatore è in grado di rivelare un singolo fotone. Quando un fotone colpisce la placca A, libera un elettrone che, attratto dalla placca B, carica positivamente, la urta liberando nuovi elettroni. Questo processo si ripete molte volte e miliardi di elettroni arrivano sull'ultima placca, L, dando luogo a una corrente elettrica che viene amplificata da un normale amplificatore. Collegando a quest'ultimo un altoparlante, ogni volta che un fotone di un dato colore colpisce la placca A, si sente un «clic» di intensità uniforme.
L'elettrone liberato è fortemente attratto dalla placca B, carica positivamente, e la urta con forza sufficiente per far emettere tre o quattro nuovi elettroni. Ciascuno di questi è attratto dalla placca C, anch'essa carica positivamente, e il loro impatto su C porta all'emissione di altri elettroni. Questo processo viene ripetuto dieci o dodici volte, così che l'ultima placca, L, viene raggiunta da miliardi di elettroni, sufficienti per costituire una corrente elettrica misurabile. Questa corrente può essere amplificata con un normale amplificatore e inviata a un altoparlante che produce un ticchettio udibile. Ogni volta che un fotone di un dato colore incide sul fotomoltiplicatore si sente un «clic» di intensità uniforme.
Si consideri ora un gran numero di fotomoltiplicatori disposti tutt’intorno a una sorgente luminosa molto fioca che emette luce in tutte le direzioni. Quando arriva su uno qualunque dei rivelatori, la luce produce un «clic» di intensità fissa. È sempre «o tutto o niente»: se un fotomoltiplicatore ‘scatta’ in un certo istante, non ne scatta nessun altro (tranne nei rari casi in cui due fotoni sono partiti dalla sorgente allo stesso istante). La luce non si suddivide in «mezze particelle» che vanno in direzioni differenti.
Ripeto: la luce si presenta sotto forma di particelle. È molto importante chiarire questo punto, specialmente per chi è andato a scuola, dove probabilmente gli è stato insegnato che la luce si comporta come un'onda. Io vi dico invece che la luce si comporta come particelle.
Si potrebbe obiettare che è il fotomoltiplicatore a rivelare la luce sotto forma di particelle. E invece no: ogni misura fatta con qualsiasi strumento abbastanza sensibile per rivelare luce molto fioca ha sempre portato alla medesima conclusione: la luce è costituita da particelle.
Do per scontato che vi siano note le più comuni proprietà della luce: che un raggio di luce si propaga in linea retta; che si piega quando entra nell'acqua; che quando viene riflesso da una superficie l'angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza; che la luce può essere suddivisa nei vari colori; che può essere focalizzata mediante una lente; che in una pozzanghera fangosa cosparsa di petrolio si osservano bellissimi colori, e così via. Tutti questi fenomeni assai comuni mi serviranno per mostrare il comportamento veramente strano della luce, e li spiegherò in base all'elettrodinamica quantistica. Ho parlato del fotomoltiplicatore per illustrare un aspetto essenziale che forse non vi era altrettanto noto, cioè che la luce è fatta di particelle, ma spero che ora anche su questo non ci siano più dubbi.
Tutti sapete, immagino, che la luce viene parzialmente riflessa da alcune superfici, ad esempio l'acqua. Quanti quadri romantici raffigurano un chiaro di luna che si specchia nelle acque di un lago! (E quante volte ci siamo cacciati nei guai proprio a causa di questo poetico riflesso!). Se si guarda nell'acqua, soprattutto di giorno, si vede quello che c'è sotto la superficie, ma si vede anche quello che la superficie riflette. Altro esempio ben noto è il vetro: se in una stanza c'è una lampada accesa, guardando di giorno attraverso il vetro di una finestra, si vede non solo la scena esterna, ma anche un debole riflesso della lampada. Quindi la luce è parzialmente riflessa dalla superficie del vetro.
Prima di proseguire, voglio avvertirvi di una semplificazione che correggerò più avanti: per il momento farò finta che la riflessione parziale della luce da parte del vetro avvenga solo sulla sua superficie. In realtà un pezzo di vetro è un oggetto di complessità mostruosa, in cui un numero enorme di elettroni si agita in modo incredibile. Un fotone che arriva su un pezzo di vetro interagisce con gli elettroni di tutto il vetro e non solo sulla superficie. Il fotone e gli elettroni fanno una specie di danza il cui effetto complessivo è lo stesso che si avrebbe se il fotone interagisse unicamente con la superficie. Di qui la semplificazione che ho detto. Quando poi mostrerò quello che accade dentro il vetro, si capirà perché il risultato è lo stesso.
Passo ora a descrivere un esperimento e ad illustrare il suo sorprendente risultato. Inviamo alcuni fotoni di un dato colore, ad esempio rosso, da una sorgente di luce verso un blocco di vetro (fig. 2). Un fotomoltiplicatore posto in A raccoglie i fotoni riflessi dalla superficie frontale del vetro. Un altro fotomoltiplicatore situato in B, all'interno del vetro, misura quanti fotoni attraversano la superficie. Tralasciando l'ovvia difficoltà di inserire un fotomoltiplicatore dentro un blocco di vetro, qual è il risultato di un simile esperimento?


Fig. 2. Esperimento per misurare la riflessione parziale della luce da parte di una singola superficie di vetro. Su 100 fotoni che partono dalla sorgente luminosa, 4 sono riflessi dalla superficie frontale e finiscono nel fotomoltiplicatore in A, mentre gli altri 96 l'attraversano e finiscono nel fotomoltiplicatore in B.
In media, su cento fotoni emessi dalla sorgente che incidono sul vetro in direzione perpendicolare, ne arrivano 4 in A e 96 in B. In questo caso «riflessione parziale» significa dunque che il 4% dei fotoni viene riflesso dalla superficie del vetro, mentre il restante 96% la attraversa. Ed eccoci in grave difficoltà: com'è possibile che la luce venga riflessa parzialmente? Ogni fotone finisce o in A o in B, ma come fa a «decidere» se andare in A o in B? [Risate]. Può sembrare una battuta, ma ridere non basta: dobbiamo trovare una teoria che spieghi questo comportamento! Quindi la riflessione parziale è già un profondo mistero, e fu infatti un problema molto difficile per Newton.


Fig. 3. Per spiegare la riflessione parziale da parte di una singola superficie, questa teoria ipotizza che la superficie sia costituita prevalentemente da «buchi» che lasciano passare la luce e da alcune «chiazze» che invece la riflettono.
Si possono avanzare diverse congetture. Una è che il 96% della superficie del vetro sia fatto di «buchi» che lasciano passare la luce, mentre il rimanente 4% sia fatto di «chiazze» di materiale riflettente (fig. 3). Ma Newton si rese conto che questa non è una spiegazione possibile.3 Discuterò tra breve uno strano aspetto della riflessione parziale che farebbe uscire di senno chiunque insistesse con la teoria dei buchi e delle chiazze (o con qualunque altra ipotesi ragionevole!).
Un'altra teoria potrebbe essere che il fotone ha un meccanismo interno, un qualche congegno, che gli permette di passare attraverso il vetro solo quando è «mirato» a puntino. Per mettere alla prova questa teoria, possiamo cercare di filtrare i fotoni che non lo sono, interponendo alcuni strati di vetro tra la sorgente e la superficie del nostro blocco. I fotoni che arrivano sul blocco, avendo attraversato i filtri, dovrebbero essere tutti mirati correttamente e quindi non dovrebbero venir riflessi. Purtroppo questa teoria non è in accordo con gli esperimenti: anche dopo aver attraversato diversi filtri il 4% dei fotoni che incidono su una superficie di vetro viene riflesso.
Abbiamo un bel lambiccarci il cervello per inventare una teoria ragionevole che spieghi come fa un fotone a «decidere» se attraversare il vetro o rimbalzare su di esso: è impossibile prevedere che cosa farà il singolo fotone. Alcuni filosofi hanno sostenuto che se le stesse circostanze non producono sempre lo stesso effetto, le previsioni risultano impossibili e la scienza stessa viene a crollare. Qui ci troviamo di fronte proprio a un caso del genere: la situazione è sempre la stessa (fotoni identici che incidono tutti nella stessa direzione sullo stesso pezzo di vetro), ma i risultati sono variabili. Non siamo in grado di prevedere se un dato fotone arriverà in A o in B; possiamo solo prevedere che, in media, su 100 fotoni che incidono sul vetro, 4 saranno riflessi dalla sua superficie frontale. Bisogna concluderne che la fisica, scienza profondamente esatta, è ridotta a calcolare la sola probabilità di un evento, invece di prevedere che cosa accade in ciascun caso singolo? Ebbene, sì. È un ripiegamento, ma le cose stanno proprio così: la Natura ci permette di calcolare soltanto delle probabilità. Con tutto ciò la scienza è ancora in piedi. Se la riflessione parziale su una singola superficie è un bel mistero e un problema difficile, la riflessione parziale su due o più superfici è un vero rompicapo. Per spiegare come mai, descriverò un secondo esperimento in cui si misura la riflessione parziale della luce da parte di due superfici. Sostituiamo il blocco di vetro con una lamina di vetro molto sottile le cui due superfici siano esattamente parallele tra di loro, e mettiamo il fotomoltiplicatore sotto la lamina e allineato con la sorgente di luce. Questa volta i fotoni che arrivano in A possono essere stati riflessi da una qualunque delle due superfici; tutti gli altri fotoni finiscono in B (fig. 4). Ci si potrebbe aspettare che la superficie frontale rifletta il 4% della luce e quella posteriore rifletta il 4% del restante 96% per un totale di circa 8%. Si dovrebbe quindi trovare che su 100 fotoni partiti dalla sorgente, circa 8 arrivano in A.
In queste condizioni sperimentali perfettamente controllabili, si osserva che solo in particolari situazioni in A arrivano 8 fotoni su 100. Con alcune lamine di vetro arrivano sempre 15 o 16 fotoni, il doppio del valore atteso, mentre con altre ne arrivano uno o due! Alcune lamine producono una riflessione del 10%, con altre la riflessione parziale scompare del tutto! Come spiegare questi risultati assurdi? Dopo esserci assicurati che le varie lamine sono tutte uniformi e della stessa qualità, scopriamo che esse differiscono solo lievemente per lo spessore.


Fig. 4. Esperimento per misurare la riflessione parziale della luce da parte di due superfici di vetro. I fotoni possono arrivare nel fotomoltiplicatore in A riflettendosi sia sulla superficie frontale sia su quella posteriore della lamina; oppure possono attraversare entrambe le superfici unendo nel fotomoltiplicatore in B. Secondo lo spessore della lamina, nel rivelatore in A arrivano da zero a 16 fotoni ogni 100. Questo risultato mette in difficoltà qualunque teoria ragionevole, compresa quella della fig. 3. La riflessione parziale, a quanto sembra, può essere «smorzata» o «amplificata» dalla presenza di altre superfici.
Per mettere alla prova l'ipotesi che la quantità di luce riflessa da due superfici dipende dallo spessore del vetro, si può fare una serie di esperimenti: iniziando con la lamina di vetro più sottile possibile si contano quanti fotoni arrivano nel fotomoltiplicatore A per ogni 100 fotoni emessi dalla sorgente. Poi si sostituisce la lamina con una un po' più spessa e si ripete il conteggio. Che risultati si hanno dopo aver ripetuto una dozzina di volte questo procedimento?
Con la lamina di vetro più sottile possibile si trova che il numero di fotoni che arrivano in A è quasi sempre zero, solo qualche rara volta ne arriva uno. Sostituendo la lamina con una leggermente più spessa, si trova che la quantità di luce riflessa è maggiore, più vicina all'atteso 8%. Dopo alcune altre sostituzioni il numero dei fotoni che arrivano in A supera 1’8%. Continuando ad aumentare lo «spessore» - ormai siamo a circa due milionesimi di centimetro, — la quantità di luce riflessa dalle due superfici arriva a un valore massimo del 16%, poi incomincia a diminuire, ripassa per 1’8% e scende nuovamente a zero. Se la lamina di vetro ha lo spessore giusto non si ha nessuna riflessione. (E la teoria delle chiazze è servita!).
Aumentando ancora lo spessore, la riflessione parziale torna ad aumentare fino al 16% per poi scendere di nuovo a zero e così di seguito (fig. 5).


Fig. 5. I risultati di un esperimento in cui si misura attentamente la relazione tra lo spessore della lamina di vetro e la riflessione parziale mostrano il fenomeno noto come «interferenza». Con l'aumentare dello spessore del vetro, la riflessione parziale varia ciclicamente tra zero e il 16%.
Newton scoprì queste oscillazioni e fece un esperimento che per essere correttamente interpretato richiede che il ciclo si ripeta almeno 34.000 volte! Oggi, grazie al laser, che produce una luce molto prossima alla monocromaticità pura, è possibile osservare ancora queste oscillazioni dopo 100.000.000 di cicli, corrispondenti a un vetro spesso oltre 50 metri. (Questo fenomeno non viene osservato in condizioni usuali perché le normali sorgenti di luce non sono monocromatiche).
La previsione dell’8% di luce riflessa risulta quindi giusta come media globale, poiché la quantità riflessa varia con andamento regolare tra zero e il 16%, ma è esatta solo due volte per ogni ciclo, così come un orologio fermo segna l'ora esatta solo due volte al giorno. Come spiegare questa strana dipendenza della riflessione parziale dallo spessore del vetro? Come può il 4% della luce riflettersi sulla superficie frontale (come si è visto nel primo esperimento descritto), se con una seconda superficie posta alla distanza giusta si riesce a eliminare del tutto la riflessione? Non solo: ponendo la seconda superficie a una distanza solo di poco diversa, si può «amplificare» la riflessione fino al 16%! Che la superficie posteriore influisca in qualche modo sulla capacità di quella frontale di riflettere la luce? Che succede se si inserisce una terza superficie?
Con una terza superficie, o una quarta, o una quinta, ecc., la quantità di luce riflessa cambia di nuovo, e con questa teoria noi ci troviamo costretti a inseguire sempre nuove superfici, alla ricerca della misteriosa superficie ultima. E questo che deve fare un fotone per «decidere» se riflettersi sulla superficie frontale?
Newton elaborò varie ipotesi ingegnose per spiegare questo problema,4 ma alla fine si rese conto di non essere riuscito a sviluppare una teoria soddisfacente. Per un lungo periodo, dopo i vani tentativi di Newton, la riflessione parziale della luce da parte di due superfici venne felicemente spiegata dalla teoria ondulatoria.5 Questa tuttavia crollò quando vennero fatti esperimenti in cui luce molto fioca veniva inviata su un fotomoltiplicatore: si osservò infatti che, anche rendendo sempre più fioca la luce, il fotomoltiplicatore continuava a ticchettare con la stessa intensità, solo che i singoli scatti erano meno frequenti. La luce si comportava come un flusso di particelle.
Anche al giorno d'oggi non c'è modello intuitivo che spieghi la riflessione parziale della luce da due superfici; tutto quello che possiamo fare è calcolare la probabilità che un dato fotomoltiplicatore venga colpito da un fotone riflesso da un lamina di vetro. Questo calcolo sarà il mio primo esempio del metodo fornito dalla teoria dell'elettrodinamica quantistica. Vi mostrerò come «si contano i fagioli», cioè come fanno i fisici a ottenere la risposta esatta. Quello che non spiegherò è come fa il fotone a «decidere» se rimbalzare o se passare: non lo spiegherò perché è una domanda a cui non sappiamo dare risposta. (E che probabilmente non ha senso). Mostrerò solamente come calcolare il valore corretto della probabilità che la luce sia riflessa da un vetro di dato spessore, perché questa è la sola cosa che i fisici sanno fare! Il procedimento usato per risolvere questo problema specifico è analogo ai procedimenti necessari per risolvere qualsiasi altro problema spiegato dall'elettrodinamica quantistica.
E adesso tenetevi saldi, non perché quello che si deve fare sia difficile, ma perché è assolutamente ridicolo: si devono tracciare tante piccole frecce su un foglio di carta, e basta!
Cosa c'entra una freccia con la probabilità che un particolare evento si verifichi? Secondo il metodo del «contare i fagioli», la probabilità di un evento è uguale al quadrato della lunghezza della freccia. Per esempio, nel nostro primo esperimento, quello in cui veniva misurata la riflessione parziale prodotta dalla sola superficie frontale, la probabilità che un fotone arrivasse nel fotomoltiplicatore A era del 4%. Questo corrisponde a una freccia di lunghezza 0,2 perché il quadrato di 0,2 è 0,04 (fig. 6).


Fig. 6. Le strane proprietà della riflessione parziale da parte di due superfici hanno costretto i fisici ad abbandonare ogni previsione assoluta e a limitarsi a calcolare la probabilità di un evento. Per questi calcoli l'elettrodinamica quantistica fornisce un metodo che consiste nel tracciare piccole frecce su un foglio di carta. La probabilità di un evento è rappresentata dall'area del quadrato costruito su una freccia. Ad esempio, una probabilità dello 0,04 (il 4%) è rappresentata da una freccia lunga 0,2.
Nel secondo esperimento, in cui si usavano lamine di vetro di diversi spessori, i fotoni potevano arrivare in A rimbalzando sia sulla superficie frontale sia su quella posteriore. Come rappresentarlo con una freccia? Per descrivere probabilità che variano tra zero e il 16%, a seconda dello spessore del vetro, la lunghezza della freccia deve variare tra zero e 0,4 (fig. 7).


Fig. 7. Frecce che rappresentano probabilità tra zero e il 16% hanno una lunghezza che va da zero a 0,4.
Si considerino ora i vari modi in cui un fotone può arrivare dalla sorgente al fotomoltiplicatore A. Dato che, per semplificare, io ho stabilito che la luce rimbalza solo sulla superficie frontale o su quella posteriore, ci sono due possibili percorsi che un fotone può seguire per arrivare in A. In questo caso si devono disegnare due frecce, una per ciascun modo in cui l'evento può verificarsi, e poi combinarle in una «freccia finale», il cui quadrato rappresenta la probabilità dell'evento. Se l'evento fosse avvenuto in tre modi differenti, le frecce da combinarsi sarebbero state tre.


Fig. 8. Le frecce che rappresentano i possibili modi in cui un evento può verificarsi vanno disegnate e poi combinate tra loro («sommate») nel seguente modo: si unisce la coda di una freccia alla punta della precedente (senza cambiare la direzione di nessuna delle due) e infine si traccia la «freccia risultante» dalla coda della prima alla punta dell'ultima.
Vediamo ora come si combinano le frecce. Supponiamo di voler combinare la freccia x con la freccia y (fig. 8): non dobbiamo fare altro che porre la coda di y sulla punta di x (senza cambiare direzione a nessuna delle due) e tracciare la freccia finale dalla coda di x alla punta di y. Tutto qua. Possiamo combinare in questo modo un qualunque numero di frecce (in linguaggio tecnico si parla di «somma delle frecce» e di «risultante»). Ciascuna freccia indica quanto e in che direzione muoversi in questa specie di danza. La freccia risultante descrive lo spostamento singolo che si deve fare per andare a finire nello stesso posto (fig. 9).


Fig. 9. Un qualsiasi numero di frecce può esser sommato nel modo descritto alla fig. 8.
Quali regole determinano la lunghezza e la direzione delle singole frecce da combinare per ottenere la freccia risultante? Nel caso specifico delle due superfici di vetro ci sono due frecce da combinare, una che rappresenta la riflessione sulla superficie frontale e l'altra che rappresenta quella sulla superficie posteriore.
Cominciamo dalla lunghezza. Come si è visto nel primo esperimento, in cui un fotomoltiplicatore era interno al vetro, la superficie frontale riflette circa il 4% dei fotoni che la colpiscono. Ciò significa che la freccia relativa alla «riflessione frontale» ha lunghezza 0,2. La superficie posteriore del vetro riflette anch'essa il 4%, dunque anche la freccia relativa alla «riflessione posteriore» ha lunghezza 0,2.
Per determinare la direzione di ciascuna freccia, immaginiamo di avere un cronometro con una sola lancetta che gira a grandissima velocità. Quando un fotone lascia la sorgente, facciamo partire il cronometro. Finché il fotone si muove, la lancetta continua a girare, compiendo circa 13.000 rivoluzioni al centimetro nel caso della luce rossa; quando il fotone arriva nel fotomoltiplicatore, fermiamo il cronometro. La direzione in cui si arresta la lancetta è quella lungo la quale va tracciata la freccia.
Per poter ottenere la risposta esatta occorre un'ultima regola: se si considera il percorso di un fotone che rimbalza sulla superficie frontale del vetro, si deve invertire il verso della freccia. In altre parole, mentre la freccia relativa alla riflessione posteriore va tracciata nello stesso verso della lancetta del cronometro, quella relativa alla riflessione frontale va tracciata nel verso opposto.
Possiamo così disegnare le frecce per il caso della luce che si riflette su una lamina di vetro estremamente sottile. Per ottenere la freccia per la riflessione frontale, immaginiamo un fotone che parte dalla sorgente di luce (la lancetta del cronometro comincia a girare), rimbalza sulla superficie frontale e arriva in A (la lancetta si arresta). A questo punto noi tracciamo una piccola freccia di lunghezza 0,2 nel verso opposto a quello della lancetta (fig. 10).


Fig. 10. In un esperimento in cui si misura la riflessione parziale da due superfici si può dire che ogni fotone ha due modi per arrivare in A: riflettendosi o sulla superficie frontale o su quella posteriore. A ciascuno di questi modi corrisponde una freccia di lunghezza 0,2, la cui direzione è determinata dalla lancetta di un «cronometro» che ruota mentre il fotone è in viaggio. La freccia relativa alla riflessione frontale va disegnata nel verso opposto a quello in cui si ferma la lancetta del cronometro.
Per ottenere la freccia per la riflessione posteriore, si immagini un fotone che parte dalla sorgente (la lancetta comincia a girare), attraversa la superficie frontale del vetro, rimbalza su quella posteriore e arriva in A (la lancetta si arresta). In questo caso la lancetta sarà orientata quasi nella stessa direzione del caso precedente, perché un fotone che rimbalza sulla superficie posteriore impiega un tempo solo di poco superiore per raggiungere A, dovendo attraversare due volte una lamina di vetro estremamente sottile. Si tracci adesso una piccola freccia di lunghezza 0,2 nello stesso verso della lancetta del cronometro (fig. 11).


Fig. 11. Un fotone che rimbalza sulla superficie posteriore di una sottile lamina di vetro impiega un tempo leggermente maggiore per arrivare in A. Quindi la lancetta del cronometro che lo segue si trova alla fine in una posizione leggermente diversa da quella in cui si troverebbe seguendo un fotone riflesso dalla superficie frontale. La freccia relativa alla «riflessione» posteriore va tracciata nello stesso verso della lancetta del cronometro.
Ora bisogna combinare le due frecce. Poiché hanno entrambe la stessa lunghezza ma direzioni quasi opposte, la freccia risultante ha lunghezza quasi nulla e il suo quadrato sarà ancora più vicino a zero. Dunque la probabilità che la luce si rifletta su una lamina estremamente sottile è praticamente nulla (fig. 12).


Fig. 12. La freccia risultante, il cui quadrato rappresenta la probabilità di riflessione su una lamina di vetro estremamente sottile, si ottiene sommando la freccia della riflessione frontale a quella della riflessione posteriore. Il risultato è quasi zero.
Se si sostituisce la lamina sottilissima con una leggermente più spessa, il fotone che rimbalza sulla superficie posteriore impiegherà più tempo per arrivare in A; la lancetta del cronometro girerà quindi un po' più a lungo, e le frecce relative alle riflessioni posteriore e frontale formeranno tra loro un angolo un po' più ampio di prima. La freccia finale sarà quindi un po' più lunga, e il suo quadrato proporzionalmente maggiore (fig. 13).


Fig. 13. Se la lamina di vetro è leggermente più spessa, la freccia risultante è un po' più lunga, perché è un po' più ampio l'angolo tra le frecce relative alla riflessione frontale e posteriore. Infatti un fotone che rimbalza sulla superficie posteriore impiega un po' più di tempo per arrivare in A rispetto all'esempio precedente.
Come ulteriore esempio, prendiamo il caso in cui lo spessore del vetro è tale che la lancetta del cronometro percorre esattamente mezzo giro in più quando segue un fotone che rimbalza sulla superficie posteriore. Questa volta la freccia per la riflessione posteriore si troverà diretta esattamente nello stesso verso di quella per la riflessione frontale. Combinandole, si ottiene una freccia finale di lunghezza 0,4, il cui quadrato è 0,16, che rappresenta una probabilità del 16% (fig. 14).


Fig. 14. Quando la lamina di vetro ha uno spessore tale da far compiere alla lancetta del cronometro che segue il fotone riflesso dalla superficie posteriore mezzo giro in più, le frecce relative alla riflessione frontale e posteriore hanno la stessa direzione e lo stesso verso e danno luogo a una freccia risultante di lunghezza 0,4, che rappresenta una probabilità del 16%.
Aumentando ancora lo spessore del vetro finché la lancetta del cronometro che segue il fotone riflesso dalla superficie posteriore compie un giro completo in più, le due frecce si troveranno ancora orientate in direzioni esattamente opposte, e la freccia finale sarà zero (fig. 15).


Fig. 15. Quando lo spessore della lamina di vetro è tale da far compiere alla lancetta del cronometro che segue il fotone riflesso dalla superficie posteriore un giro completo in più, la freccia finale è nuovamente zero e non si osserva nessuna riflessione.
Una situazione analoga esisterà ogni volta che lo spessore del vetro sarà tale che la lancetta che segue il fotone riflesso dalla superficie posteriore eseguirà un giro completo in più.
Se lo spessore del vetro è tale che la lancetta che cronometra il tempo della riflessione posteriore esegue esattamente 1/4 o 3/4 di giro in più, le due frecce si troveranno a formare un angolo retto tra loro. La freccia risultante sarà dunque l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e, in base al teorema di Pitagora, il suo quadrato sarà uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Perciò in questo caso si ha il valore esatto «due volte al giorno»: 4% + 4% = 8% (fig. 16).


Fig. 16. Quando le frecce relative alla riflessione frontale e posteriore sono ad angolo retto tra loro, la freccia finale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Quindi il suo quadrato è la somma dei quadrati delle due frecce, pari all'8%.
Si osservi che via via che si aumenta lo spessore del vetro, la freccia della riflessione frontale conserva sempre la medesima direzione, mentre l'altra cambia gradualmente. Il cambiamento della direzione relativa delle due frecce produce una variazione ciclica della lunghezza della freccia risultante tra zero e 0,4, cosicché il suo quadrato varia ciclicamente tra zero e il 16%, in accordo con le osservazioni sperimentali (fig. 17).


Fig. 17. Via via che le lamine di vetro vengono sostituite con lamine più spesse, la lancetta del cronometro che segue il fotone riflesso dalla superficie posteriore gira di più e l'angolo tra le frecce relative alla riflessione frontale e posteriore cambia. Ciò provoca una variazione ciclica nella lunghezza della freccia finale, il cui quadrato oscilla tra zero e il 16%.
Ho dunque fatto vedere come le strane proprietà della riflessione parziale possono essere esattamente descritte disegnando alcune banalissime frecce su un foglio di carta. In linguaggio tecnico queste frecce vengono chiamate «ampiezze di probabilità», e certo mi fa sentire più importante affermare che sto «calcolando l'ampiezza di probabilità per un evento». Preferisco pero essere più onesto e dire che sto considerando le frecce il cui quadrato rappresenta la probabilità che l'evento si verifichi.
Prima di terminare questa lezione voglio parlare dei bellissimi colori che si osservano sulle bolle di sapone oppure sulla superficie scura di una pozzanghera fangosa su cui la vostra automobile ha sgocciolato un po' d'olio. La sottile pellicola oleosa che galleggia sulla pozzanghera agisce come una lamina di vetro molto sottile: riflette la luce di ciascun dato colore da zero fino a un valore massimo, a seconda del suo spessore. Illuminandola con luce rossa monocromatica, poiché lo spessore dello strato d'olio non è uniforme, si osservano chiazze rosse separate da tratti neri dove appunto la riflessione è nulla. Lo stesso accade con la luce blu: chiazze blu separate da tratti neri. Usando luce sia rossa sia blu, si osservano zone rosse dove lo spessore è tale da riflettere fortemente solo la luce rossa, altre zone che riflettono solo la luce blu, altre ancora che hanno lo spessore adatto per riflettere fortemente sia il rosso sia il blu (mistura percepita come viola), mentre altre zone dove la riflessione si annulla appaiono nere.
Per capire meglio questo punto, bisogna chiarire che nella riflessione parziale da due superfici il cielo di variazione tra zero e il 16% si ripete più rapidamente per la luce blu che per quella rossa. Quindi per certi spessori sono fortemente riflessi uno solo o entrambi i colori, mentre per altri spessori la riflessione si annulla completamente (fig. 18).


Fig. 18. Le due superfici di una lamina producono una riflessione parziale della luce monocromatica con probabilità che varia ciclicamente tra zero e il 16% all'aumentare dello spessore. Poiché la velocità di rotazione della lancetta del cronometro immaginario varia col colore della luce, il ciclo si ripete a spessori differenti per colori differenti. Quindi, se sulla lamina arriva luce di due colori, ad esempio luce rossa monocromatica e luce blu monocromatica, un dato spessore potrà dare luogo alla riflessione solo del rosso, o solo del blu, o del rosso e del blu in proporzioni differenti, producendo varie sfumature di viola, o potrà anche non riflettere alcun colore (e allora si avrà una zona nera). Se lo spessore della lamina varia da punto a punto, come avviene per una goccia d'olio che si allarga su una pozzanghera, si verificano tutte le situazioni possibili. Con la luce del sole, che contiene tutti i colori, si producono tutte le combinazioni possibili e la gamma dei colori osservabili è ricchissima.
I cicli della riflessione si ripetono con periodicità diversa, perché la lancetta del nostro cronometro immaginario deve girare più rapidamente quando segue un fotone blu che quando ne segue uno rosso. Anzi, la velocità di rotazione della lancetta è l'unica differenza tra un fotone rosso e uno blu, o un fotone di qualsiasi altro colore, inclusi i raggi X, le onde radio e così via.
Illuminando con luce rossa e blu una sottile pellicola oleosa, si osservano configurazioni rosse, blu e viola separate da bordi neri. Se la pozzanghera viene illuminata dalla luce del sole, che contiene il rosso, il giallo, il verde e il blu, le zone che riflettono fortemente ciascuno di questi colori si sovrappongono, dando vita alle combinazioni più varie che i nostri occhi percepiscono come colori diversi. Via via che la pellicola d'olio si muove e si spande sulla superficie dell'acqua, mutando spessore nei diversi punti, le configurazioni cromatiche cambiano. (Se pero quella stessa pozzanghera voi la guardate di notte, illuminata da un lampione stradale al sodio, vedrete solo strisce giallastre separate da zone scure, perché i lampioni al sodio emettono solo luce gialla).
Questo fenomeno della molteplicità di colori prodotti dalla riflessione parziale della luce bianca su due superfici è chiamato iridescenza, e lo si può osservare in molte situazioni. Ad esempio, vi sarà capitato di domandarvi che cosa produca i variopinti colori dei colibrì e dei pavoni. Ora lo sapete. Come questi colori sgargianti si siano evoluti è un altro problema interessante. Ogni volta che ammiriamo un pavone, dovremmo rivolgere un pensiero riconoscente a intere generazioni di femmine tutt'altro che fulgide, per essere state così esigenti nella scelta dei loro compagni. (In seguito è intervenuto anche l'uomo, orientando il processo di selezione).
Nella prossima lezione faro vedere come, grazie a questo stravagante procedimento di combinare tante piccole frecce, è possibile ottenere la risposta corretta per altri fenomeni comuni. Spiegherò perché la luce viaggia in linea retta, perché viene riflessa da uno specchio con un angolo uguale a quello con cui vi giunge («l'angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza»), perché viene focalizzata da una lente, e così via. Vedrete così che questa nuova impostazione descrive tutte le proprietà della luce a voi note.
 
II
I FOTONI: PARTICELLE DI LUCE

Questa è la seconda di una serie di conferenze sull'elettrodinamica quantistica, e poiché vedo che il pubblico è completamente diverso (evidentemente perché ho detto che non si sarebbe capito nulla), riassumerò in breve il contenuto della prima lezione.
Abbiamo parlato della luce. La prima caratteristica importante della luce è che si comporta come se fosse formata da particelle: quando una luce monocromatica (cioè di un solo colore) molto debole colpisce un rivelatore, questo emette un ticchettio che diventa meno frequente, ma conserva la stessa intensità, via via che la luce viene resa più fioca.
L'altro aspetto importante del comportamento della luce riguarda la riflessione parziale della luce monocromatica. In media viene riflesso il 4% dei fotoni che colpiscono una singola superficie di vetro. Questo è già un mistero, poiché risulta impossibile prevedere quali fotoni rimbalzeranno e quali passeranno. Se poi si inserisce una seconda superficie, i risultati sono decisamente strani: invece della riflessione dell'8% che ci si aspetterebbe dalle due superfici, la riflessione parziale può essere amplificata fino al 16% o eliminata del tutto, a seconda dello spessore del vetro.
Questo strano aspetto della riflessione parziale da due superfici può essere spiegato dalla teoria ondulatoria finché si considera luce abbastanza intensa, ma tale teoria non può spiegare come mai il rivelatore continui a ticchettare con la stessa intensità allorché la luce diventa molto fioca. L'elettrodinamica quantistica «risolve» questa dualità ondulatorio-corpuscolare asserendo che la luce è formata da particelle (come sosteneva Newton). Tuttavia questo enorme progresso della scienza ha avuto come prezzo una «ritirata» della fisica, che ora è in grado di calcolare solo la probabilità che un dato fotone colpisca il rivelatore, senza offrire un buon modello intuitivo di come ciò avvenga effettivamente.
Nella prima lezione ho descritto come fanno i fisici a calcolare la probabilità che un determinato evento si verifichi. Si disegnano delle frecce su un foglio di carta secondo le seguenti regole.
 
PRINCIPIO FONDAMENTALE: la probabilità che un evento si verifichi è data dal quadrato della lunghezza di una freccia detta «ampiezza di probabilità». Ad esempio, una freccia lunga 0,4 rappresenta una probabilità di 0,16, cioè del 16%.
 
REGOLA GENERALE per disegnare la freccia relativa a un evento che può prodursi in più modi alternativi: si tracci una freccia per ciascun modo, e poi si combinino le varie frecce (le si «sommi») unendo la coda di ciascuna alla punta della precedente. Si disegni infine una «freccia risultante», unendo la coda della prima freccia alla punta dell'ultima. Il quadrato di questa freccia finale dà la probabilità complessiva che l'evento considerato si verifichi.
 
Ho poi illustrato le regole specifiche per disegnare le frecce nel caso della riflessione parziale sul vetro (si veda il capitolo precedente alle pp. 42-44 [intorno alle figure 8-11 in questo eBook]).
Questo per quanto riguarda il contenuto della prima lezione.
Ora vi farò vedere come questo modello del mondo, così radicalmente diverso da ogni descrizione a voi nota (e appunto per questo, magari, preferireste non saperne più niente), è in grado di spiegare tutte le proprietà più conosciute della luce: ad esempio, perché la luce viene riflessa da uno specchio con un angolo di riflessione uguale a quello di incidenza; perché si piega passando dall'aria all'acqua; perché in un mezzo omogeneo si propaga in linea retta; perché viene focalizzata dalle lenti e così via. La teoria descrive correttamente anche proprietà meno conosciute. In effetti, la difficoltà maggiore che ho incontrato nel preparare queste lezioni è stata di resistere alla tentazione di discutere tutte le proprietà della luce che di solito vengono faticosamente studiate a scuola, come il comportamento della luce quando penetra nella zona d'ombra al di là di uno spigolo netto (fenomeno noto come diffrazione). Ma poiché la maggior parte di voi non avrà mai fatto molta attenzione a tali fenomeni, li lascerò perdere. Vi garantisco però (altrimenti gli esempi che sto per fare sarebbero fuorvianti) che tutti i fenomeni osservati in cui interviene la luce possono essere spiegati dall'elettrodinamica quantistica; io qui mi limiterò a quelli più semplici e più comuni.


Fig. 19. Secondo la fisica classica, uno specchio riflette la luce solo nel punto in cui l'angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza, anche quando sorgente e rivelatore sono a distanze diverse dallo specchio, come nel caso (b).
Comincerò dal problema di determinare come la luce si riflette su uno specchio (fig. 19). In S è situata una sorgente che emette luce monocromatica (mettiamo ancora rossa) di bassissima intensità: un fotone alla volta. In P si trova un fotomoltiplicatore che rivela i fotoni, e poiché è più facile tracciare le frecce se la configurazione è simmetrica, poniamolo, rispetto allo specchio, alla stessa distanza della sorgente. Si vuole calcolare la probabilità che il rivelatore faccia un «clic» in seguito all'emissione di un fotone dalla sorgente. Poiché c'è anche la possibilità che un fotone vada direttamente nel rivelatore, interponiamo uno schermo in Q.
Ci aspetteremmo che tutta la luce che arriva al rivelatore sia stata riflessa dalla parte centrale dello specchio, perché solo in tale zona l'angolo di incidenza è uguale a quello di riflessione, mentre le parti dello specchio vicine alle estremità dovrebbero essere completamente estranee a tutta la faccenda. Giusto?
Così parrebbe, ma vediamo che cosa dice la teoria quantistica. Principio fondamentale: la probabilità che un evento si verifichi è data dal quadrato della freccia risultante ottenuta tracciando una freccia per ciascun modo in cui l'evento può avvenire e poi combinando («sommando») le varie frecce. Nell'esperimento in cui si considerava la riflessione parziale della luce da due superfici, un fotone poteva arrivare dalla sorgente al rivelatore in due modi. Nell'esperimento che stiamo discutendo ora ci sono invece milioni di percorsi che un fotone può seguire: può andare a colpire l'estremità sinistra dello specchio, ad esempio in A o in B, e di lì rimbalzare fino al rivelatore (fig. 20); può rimbalzare nel punto che voi vi aspettereste, cioè al centro, in G; oppure andare fino all'estremità destra dello specchio, in K o in M, e di lì al rivelatore. Forse penserete che sono diventato matto, perché per la maggior parte di questi percorsi gli angoli di incidenza e di riflessione non sono uguali. Nossignori, non sono matto: la luce si propaga proprio così! Ma come può essere?


Fig. 20. Secondo l'elettrodinamica quantistica, la luce ha la stessa ampiezza di probabilità di riflettersi in ogni punto dello specchio, da A a M.
Per facilitare le cose, supponiamo che lo specchio sia costituito semplicemente da un lunga striscia che va da sinistra a destra, dimenticando per un momento che esso si estende anche fuori dal piano della carta (fig. 21). Inoltre, mentre la luce può riflettersi in un numero immenso di punti, facciamo per ora l'approssimazione di suddividere lo specchio in un numero finito di piccoli quadrati e di considerare un solo percorso per ciascun quadrato; più piccoli sono i quadrati, e più numerosi quindi sono i percorsi presi in considerazione, più il calcolo diventa accurato, ma anche complicato.


Fig. 21. Per calcolare più facilmente come si propaga la luce, si consideri momentaneamente solo una striscia di specchio divisa in tanti piccoli quadrati e un solo percorso per ciascun quadrato. Questa semplificazione non pregiudica in alcun modo l'accuratezza dell'analisi.
Per ogni possibile percorso della luce si disegni ora una piccola freccia, che avrà una certa lunghezza e una certa direzione. Cominciamo con la lunghezza. Si potrebbe pensare che la freccia corrispondente al percorso che passa per il punto centrale dello specchio, G, sia decisamente la più lunga, poiché sembra esservi un'elevatissima probabilità che un fotone che arriva nel rivelatore abbia seguito tale cammino, mentre le frecce relative a cammini che passano per le estremità dello specchio dovrebbero essere molto piccole. E invece no: tale regola sarebbe completamente arbitraria. La regola corretta, che descrive ciò che realmente accade, è molto più semplice: la probabilità che ha un fotone di giungere nel rivelatore è quasi la stessa qualunque sia il percorso seguito, per cui le nostre frecce hanno tutte quasi la stessa lunghezza. (Vi sono, a dire il vero, alcune piccole differenze dovute alla diversità di angolo e di distanza, ma sono talmente secondarie che le trascurerò). Tutte le frecce avranno dunque la stessa lunghezza arbitraria: scegliamola molto piccola perché le frecce sono molte, corrispondenti a moltissimi percorsi possibili (fig. 22).


Fig. 22. Nei calcoli che verranno discussi, ogni percorso che la luce può seguire sarà rappresentato da una freccia di lunghezza arbitraria fissata, come in figura.
Mentre si può tranquillamente assumere che la lunghezza di tutte le frecce sia più o meno la stessa, le loro direzioni sono chiaramente diverse, essendo diverso il tempo impiegato a seguire i vari percorsi; si ricordi che, come ho spiegato nella prima lezione, la direzione di una data freccia è determinata dalla posizione di arrivo di un'immaginaria lancetta di cronometro, che ruota mentre il fotone segue il suo percorso. Un fotone che vada prima all'estremità sinistra dello specchio, in A, impiega chiaramente più tempo per arrivare nel rivelatore di un altro fotone che si rifletta nella zona centrale dello specchio, in G (fig. 23).


Fig. 23. Mentre la lunghezza delle varie frecce è essenzialmente la stessa, la loro direzione è diversa perché sono diversi i tempi impiegati da un fotone per seguire percorsi diversi. È evidente che occorre più tempo per andare da S in A e poi in P che non da S in G e poi in P.
Immaginate di avere fretta e di dover correre dalla sorgente allo specchio e poi di lì al rivelatore: capireste subito che non è il caso di andare prima fino in A e poi risalire fino al rivelatore; si fa molto prima a toccare lo specchio in un punto della zona centrale.
Per facilitare il calcolo della direzione delle varie frecce, disegnerò un grafico sotto la raffigurazione schematica dello specchio (fig. 24).


Fig. 24. Nella parte superiore della figura sono mostrati i percorsi che la luce può seguire (nella nostra situazione semplificata), mentre i punti corrispondenti nel grafico sottostante indicano il tempo che un fotone impiega per andare dalla sorgente a quel punto e di lì al fotomoltiplicatore. Subito sotto il grafico sono rappresentate le direzioni delle varie frecce e, sotto ancora, il risultato della loro somma. È evidente che il contributo principale alla lunghezza della freccia finale proviene dalle frecce comprese tra È ed I, le cui direzioni sono quasi le stesse, perché i tempi relativi ai corrispondenti percorsi sono quasi gli stessi. Questa è anche la zona in cui il tempo impiegato è minimo. E perciò approssimativamente corretto dire che la luce segue il percorso che richiede il minimo tempo.
In corrispondenza di ciascun punto dello specchio è indicato, lungo la verticale, il tempo impiegato dalla luce per giungere nel rivelatore seguendo il percorso che passa per quel punto. Quanto maggiore è questo tempo, tanto più in alto nel grafico sarà il punto corrispondente. Incominciamo da sinistra: un fotone che si riflette in A impiegherà un tempo piuttosto lungo, cosicché il punto corrispondente nel grafico sarà piuttosto in alto. Spostandosi verso il centro dello specchio, il tempo impiegato diminuisce, e i punti sul grafico sono via via più in basso. Superato il centro, il tempo necessario a seguire un percorso ricomincia a crescere, e il punto corrispondente nel grafico verrà a trovarsi sempre più in alto. Per aiutare l'occhio, congiungiamo i vari punti: otterremo una curva simmetrica che inizia dall'alto, scende e poi risale.
Che cosa significa ciò per la direzione delle nostre frecce? La direzione di ciascuna di esse è in corrispondenza col tempo impiegato da un fotone a percorrere un determinato percorso. Disegniamo le varie frecce cominciando da sinistra. Il percorso A richiede il tempo maggiore e la freccia corrispondente sarà orientata in una certa direzione. La freccia per il percorso B sarà orientata lungo una direzione diversa perché il tempo impiegato è diverso. Le frecce relative ai percorsi F, G ed H, che passano per la zona centrale dello specchio, avranno invece direzione pressoché identica perché i tempi corrispondenti sono quasi gli stessi. Superato il centro dello specchio, si vede che ad ogni percorso sul lato destro dello specchio corrisponde un percorso sul lato sinistro che ha lo stesso tempo di percorrenza (questa è una conseguenza della decisione di porre sorgente e rivelatore alla stessa distanza dallo specchio e simmetrici rispetto al suo centro). La freccia per il percorso J, ad esempio, avrà la stessa direzione di quella per il percorso D.
Adesso sommiamo le varie frecce, partendo dalla freccia A e agganciando la coda di ciascuna alla punta della precedente. Se volessimo fare una passeggiata usando le frecce come passi, all'inizio non ci allontaneremmo gran che dal punto di partenza, perché ogni passo porta in una direzione molto diversa dal precedente. Dopo un po', però, le frecce cominciano a rivolgersi tutte pressappoco nella stessa direzione, e allora si progredisce decisamente. Verso la fine della passeggiata ciascun passo è di nuovo in una direzione del tutto diversa dal precedente, per cui non si avanza più.
Non resta che tracciare la freccia risultante. Si congiunge la coda della prima freccia alla punta dell'ultima e si ottiene lo spostamento complessivo della passeggiata. E notate bene che la freccia finale ha lunghezza non trascurabile! L'elettrodinamica quantistica predice che la luce effettivamente si riflette su uno specchio!
Questo risultato richiede alcune considerazioni. Che cosa determina la lunghezza della freccia finale? Vediamo anzitutto che le estremità dello specchio non hanno nessuna importanza: le frecce relative a questi contributi puntano in tutte le direzioni, ma non producono alcuno spostamento complessivo. Se si tagliassero queste estremità, che a voi saranno subito apparse, istintivamente, di nessunissimo interesse, la lunghezza della freccia finale non risulterebbe quasi per niente modificata.
Quale parte dello specchio dà dunque a tale freccia la sua lunghezza apprezzabile? Chiaramente quella le cui frecce hanno tutte quasi la stessa direzione, perché il tempo corrispondente è quasi lo stesso. Osservando il grafico in cui sono riportati i tempi relativi ai vari percorsi (fig. 24), si vede che le variazioni da un percorso al successivo sono molto ridotte nella zona più bassa della curva, dove il tempo impiegato è minimo.
Riassumendo, la zona per cui il tempo è minimo è anche quella per cui tempi relativi a percorsi vicini sono quasi gli stessi; le frecce relative a questa zona sono orientate tutte pressappoco nella stessa direzione e si sommano dando un contributo apprezzabile; questa è la zona che determina la probabilità con cui un fotone si riflette su uno specchio. Ed è per questo che, approssimando, possiamo prendere per buona la descrizione del mondo, piuttosto rozza, secondo la quale la luce segue soltanto il percorso che richiede il minimo tempo. (È facile dimostrare che per tale percorso l'angolo d'incidenza è uguale all'angolo di riflessione, ma per brevità non lo faremo).
L'elettrodinamica quantistica fornisce dunque la risposta corretta: la zona centrale dello specchio è quella rilevante nel determinare la riflessione; ma questa risposta è stata ottenuta al prezzo di dover credere che la luce si riflette in tutti i punti dello specchio e di dover sommare un gran numero di piccole frecce il cui solo effetto è di cancellarsi tra loro. Tutto ciò può sembrare una perdita di tempo, un giochino stupido buono solo per i matematici. Non sembra «fisica vera» dover introdurre qualcosa solo per poi cancellarlo.
Per verificare se davvero c'è riflessione in tutti i punti dello specchio, facciamo un altro esperimento. Cominciamo con l'eliminare gran parte dello specchio, lasciandone circa un quarto, all'estremità sinistra. 11 pezzo rimasto è ancora abbastanza grande, ma è nel posto sbagliato. Si è appena visto (fig. 24) che le frecce relative ai contributi dell'estremità sinistra dello specchio hanno direzioni molto diverse tra loro a causa della notevole differenza di tempo tra percorsi adiacenti. Facciamo adesso un calcolo più accurato, suddividendo la parte rimasta dello specchio in intervalli molto più piccoli, tali che non ci sia molta differenza di tempo tra percorsi vicini (fig. 25).


Fig. 25. Per verificare che la riflessione ha luogo effettivamente anche alle estremità dello specchio (anche se poi si elide nella somma finale), si può fare un esperimento con un grande pezzo di specchio disposto in posizione errata per dar luogo alla riflessione da S a P. Si consideri questo pezzo di specchio suddiviso in tratti molto più piccoli, così che il tempo impiegato differisca di poco da un percorso al successivo. Quando tutte le frecce vengono sommate il risultato è nullo: le varie frecce sono disposte in cerchio e la loro somma è praticamente zero.
In questa rappresentazione più dettagliata vediamo che alcune frecce puntano più o meno verso destra mentre le altre puntano più o meno verso sinistra. Quando si sommano tutte le frecce si vede che esse sono disposte sostanzialmente lungo una circonferenza, e che quindi non si arriva da nessuna parte. Ma supponiamo di raschiar via per bene dallo specchio le zone a cui corrispondono frecce dirette prevalentemente in una data direzione, ad esempio verso sinistra, in modo che rimangano solo le zone le cui frecce puntano prevalentemente nella direzione opposta (fig. 26).
La somma delle frecce dirette tutte più o meno verso destra darà una serie di semicerchi e produrrà una freccia risultante apprezzabile; in base alla teoria adesso si dovrebbe osservare una riflessione notevole! E infatti così è: la teoria è corretta! Uno specchio del genere viene chiamato reticolo di diffrazione e funziona a meraviglia.


Fig. 26. Se si sommano solo le frecce inclinate verso una particolare direzione, ad esempio verso destra, e si eliminano le altre raschiando il vetro nei punti corrispondenti, si osserva che una notevole quantità di luce viene riflessa dal pezzo di specchio situato nel posto sbagliato. Uno specchio opportunamente raschiato è chiamato reticolo di diffrazione.
Non è fantastico? Si prende un pezzo di specchio su cui non ci si aspetterebbe alcuna riflessione, se ne raschia via una parte ed ecco che lo specchio riflette!6
Questo particolare reticolo è fatto su misura per la luce rossa, e non funzionerebbe con luce blu, per la quale occorre invece un reticolo in cui i tratti eliminati siano più vicini tra loro, perché, come ho detto nella prima lezione, la lancetta del cronometro immaginario deve girare più velocemente quando segue un fotone blu che quando ne segue uno rosso. Le strisce opache adatte per la velocità di rotazione del rosso non si trovano nei posti giusti per il blu; le frecce si ingarbugliano e il reticolo non funziona bene. Il caso vuole però che se si sposta il rivelatore in modo che formi un angolo leggermente diverso, il reticolo adatto alla luce rossa diventa adatto a quella blu. Si tratta solamente di un caso fortunato, dovuto alla particolare configurazione geometrica del sistema (fig. 27).


Fig. 27. Un reticolo di diffrazione i cui solchi sono distanziati correttamente per la luce rossa funziona anche per gli altri colori se si pone il rivelatore in posizione differente. Pertanto, a seconda dell'angolo di osservazione, è possibile vedere diversi colori riflessi da una superficie rigata, ad esempio quella di un disco di grammofono.
Illuminando il reticolo con luce bianca, il rosso emergerà ad un certo angolo, l'arancione a un angolo leggermente maggiore, poi verranno il giallo, il verde e il blu, e tutti i colori dell'arcobaleno. Succede comunemente di vedere riflessa luce di vari colori quando si guarda sotto l'angolo giusto un oggetto, illuminato con luce bianca, su cui è incisa una serie di solchi sufficientemente vicini tra loro, ad esempio un disco di grammofono o ancor meglio un videodisco. Avrete certo visto quei meravigliosi adesivi argentati che qui, nell'assolata California, vengono spesso incollati sul retro delle automobili: quando l'automobile si muove si vedono vivaci colori cangianti dal rosso al blu. Adesso sapete da dove vengono: a causarli è un reticolo di diffrazione, uno specchio raschiato nei punti giusti. Il sole è la sorgente di luce e gli occhi sono i rivelatori. A questo punto potrei spiegare in termini facili come funzionano i laser e gli ologrammi, ma so che non tutti ne hanno conoscenza diretta, e poi ci sono molte altre cose di cui voglio parlare.7


Fig. 28. La Natura ha prodotto molti tipi di reticoli di diffrazione sotto forma di cristalli. Un cristallo di sale riflette solo per alcuni angoli i raggi X, che sono luce per la quale la lancetta del cronometro immaginario ruota a grandissima velocità, anche 10.000 volte maggiore che per la luce visibile. Dagli angoli di riflessione si può risalire all'esatta disposizione spaziale dei singoli atomi.
Un reticolo di diffrazione dimostra quindi che non si possono trascurare le parti di uno specchio che non sembrano contribuire alla riflessione; manipolandolo opportunamente si può mettere in evidenza la realtà della riflessione da tutti i suoi punti e produrre, alcuni fenomeni ottici sorprendenti.
Ma ancor più importante è il fatto che, dimostrando la realtà del contributo di tutte le parti dello specchio alla riflessione, si dimostra che c'è un'ampiezza (una freccia) per ciascun modo in cui un evento può accadere. E per calcolare correttamente la probabilità di un tale evento nelle diverse circostanze, occorre sommare le frecce relative a tutti i modi in cui esso può verificarsi, e non solo a quelli che si ritengono rilevanti!
Parlerò adesso di un fenomeno più familiare dei reticoli di diffrazione, cioè del passaggio della luce dall'aria all'acqua. Immaginiamo che un fotomoltiplicatore possa essere immerso nell'acqua, e collochiamolo nella posizione D, mentre la sorgente si trova nell'aria, in S (fig. 29).


Fig. 29. Secondo la teoria quantistica, la luce può andare da una sorgente nell'aria a un rivelatore nell'acqua seguendo molti percorsi. Se si semplifica il problema, come nel caso dello specchio, si può riportare in un grafico il tempo relativo ai valori percorsi, e sotto di esso tracciare la direzione delle relative frecce. Anche questa volta i contributi maggiori alla lunghezza della freccia risultante vengono da quei percorsi le cui frecce puntano pressappoco nella stessa direzione, perché i tempi corrispondenti sono quasi gli stessi, e anche questa volta ciò avviene quando il tempo impiegato è minimo.
Anche in questo caso vogliamo calcolare la probabilità che un fotone arrivi dalla sorgente al rivelatore. Per farlo dobbiamo prendere in considerazione tutti i possibili percorsi della luce. Ciascuno di questi percorsi aggiunge una piccola freccia e, come nell'esempio precedente, tutte queste frecce hanno quasi la stessa lunghezza. Se facciamo un grafico del tempo necessario a un fotone per compiere ciascuno dei possibili percorsi, la curva che si ottiene è molto simile a quella che si aveva per la luce riflessa da uno specchio: parte dall'alto, scende e poi sale di nuovo; il contributo più importante viene dai luoghi per i quali le frecce puntano pressappoco nella stessa direzione, cioè per i quali il tempo di percorrenza varia poco tra percorsi vicini, ossia dalla parte più bassa della curva. Questa è anche la zona per cui il tempo è minimo, sicché in realtà basta trovare il percorso di minimo tempo.
Ora, la luce sembra propagarsi più lentamente nell'acqua che nell'aria (il perché lo spiegherò nella prossima lezione), e ciò rende il percorso attraverso l'acqua più ‘dispendioso’, per così dire, di quello attraverso l'aria. Non è difficile individuare quale percorso richieda il minimo tempo: immaginate di essere un bagnino seduto in S, e che in D ci sia una bella ragazza che sta per affogare (fig. 30). Poiché correre sulla terra è più veloce che nuotare, in che punto entrereste in acqua per raggiungere la bagnante che annega nel più breve tempo possibile?


Fig. 30. Trovare il percorso di minimo tempo per la luce è come trovare il percorso che richiede meno tempo a un bagnino che deve attraversare di corsa una spiaggia e poi nuotare per salvare una persona che affoga: lungo il percorso più corto c'è troppa acqua, mentre lungo quello con meno acqua c'è troppa spiaggia; il percorso che richiede il minimo tempo è un compromesso tra i due.
Entrereste in acqua al punto A, per poi mettervi a nuotare come forsennati? Naturalmente no. Ma anche correre direttamente verso la ragazza in pericolo, entrando nell'acqua in J, non è il percorso più rapido. È chiaro che un bagnino non si ferma a fare simili analisi in circostanze d'emergenza, ma è possibile calcolare quale percorso richiede il minimo tempo: si tratta di un compromesso tra il percorso diritto, che passa per J, e quello con meno acqua, che passa per N. La stessa cosa succede per la luce: il percorso che richiede il minimo tempo entra nell'acqua in un punto tra J ed N, ad esempio in L.
Un altro fenomeno cui voglio accennare brevemente è quello del miraggio. Guidando su una strada molto calda, si ha a volte l'impressione di vederla piena di pozzanghere. In realtà quello che si vede è il riflesso del cielo; però quando si vede il cielo sulla strada è perché ci sono delle pozzanghere (riflessione parziale su una singola superficie!). Come mai allora si vede il cielo riflesso sulla strada quando non c'è la minima traccia d'acqua? Bisogna sapere che la luce viaggia più lentamente attraverso l'aria fredda che attraverso quella calda, e per poter vedere il miraggio, l'osservatore deve trovarsi nella zona d'aria più fredda che è sopra lo strato d'aria calda immediatamente vicino alla superficie della strada (fig. 31).


Fig. 31. Trovare il percorso di minimo tempo spiega anche come si produce un miraggio. La luce viaggia più velocemente nell'aria calda che in quella fredda. Quando si vede il riflesso del cielo sulla strada è perché parte della luce del cielo che arriva nell'occhio proviene dalla strada. Poiché l'unica altra situazione in cui si vede il cielo sulla strada si verifica quando c'è acqua che lo riflette, il miraggio viene attribuito alla presenza di acqua.
Come sia possibile vedere il cielo guardando in giù può essere compreso trovando il percorso di minimo tempo. Provate a pensarci da soli: è un problema divertente e abbastanza facile.
Negli esempi finora discussi (riflessione della luce su uno specchio o il suo passaggio dall'aria all'acqua) ho fatto un'approssimazione: per semplicità ho disegnato i percorsi seguiti dalla luce come due tratti rettilinei che formano un angolo tra loro. Ma non c'è bisogno di assumere che la luce si propaghi in linea retta quando viaggia attraverso un materiale omogeneo come l'acqua o l'aria; anche questo può essere spiegato in base al principio generale della teoria quantistica: la probabilità di un evento si trova sommando le frecce relative a tutti i modi in cui quell'evento può accadere.
Perciò, sommando freccette, farò vedere nel prossimo esempio come si possa avere l'impressione che la luce si propaghi in linea retta. Disponiamo una sorgente e un rivelatore rispettivamente in S e in P (fig. 32) e consideriamo tutti i percorsi, comunque contorti, che la luce può seguire per andare dalla sorgente al fotomoltiplicatore. Disegniamo la freccetta relativa a ciascun cammino, e vediamo se si è imparata la lezione!
Per ogni percorso contorto, ad esempio A, c'è un percorso vicino un po' più diritto e decisamente più breve, che cioè prende molto meno tempo. Ma se si considerano percorsi quasi rettilinei, come C, quelli vicini e leggermente più diritti richiedono quasi lo stesso tempo. Per questi ultimi percorsi le frecce si sommano invece di elidersi ed essi sembrano i soli seguiti dalla luce.


Fig. 32. Usando la teoria quantistica, si può capire perché la luce sembra viaggiare in linea retta. Se si prendono in considerazione tutti i percorsi possibili, si vede che per ogni percorso contorto ce n'è uno vicino di lunghezza notevolmente inferiore, che richiede perciò molto meno tempo e la cui freccia ha una direzione notevolmente diversa. Solo i percorsi vicini a quello rettilineo che passa per D hanno frecce che puntano tutte quasi nella stessa direzione, perché i tempi relativi sono quasi gli stessi. Soltanto tali frecce risultano importanti, perché sono le uniche a dar luogo a una freccia finale apprezzabile.
È importante osservare che la freccia relativa al solo percorso diritto, quello che passa per D, non è sufficiente a dar conto della probabilità con cui la luce arriva dalla sorgente al rivelatore. Anche i percorsi quasi diritti e vicini, attraverso C o E, per esempio, danno contributi importanti. Per cui la luce non viaggia realmente lungo una linea retta: essa ‘annusa’ i percorsi vicini e usa una piccola zona di spazio tutt'attorno. (Analogamente uno specchio deve avere dimensioni abbastanza grandi per dar luogo alla normale riflessione; se è troppo piccolo per poter riflettere tutto il fascio di percorsi importanti, diffonderà la luce in tutte le direzioni dovunque lo si metta).
Per esaminare meglio il comportamento di questo fascio di luce, mettiamo una sorgente in S, un fotomoltiplicatore in P e interponiamo tra loro due blocchi per evitare che i percorsi della luce si allontanino troppo da quello più breve (fig. 33).


Fig. 33. La luce non segue solo il percorso rettilineo, ma anche tutto il fascio dei percorsi vicini. Se due blocchi sono abbastanza separati da lasciar passare questo fascio, i fotoni vanno normalmente in P e quasi mai in Q.
Collochiamo anche un secondo fotomoltiplicatore in Q, sotto P, e assumiamo di nuovo, per semplicità, che la luce possa andare da S a Q solo seguendo percorsi fatti da due tratti rettilinei. Che cosa osserviamo? Se lo spazio tra i blocchi è sufficiente a permettere molti percorsi vicini, le frecce dei percorsi che arrivano in P si sommano, perché tali percorsi richiedono quasi lo stesso tempo, mentre quelle relative ai percorsi fino a Q si elidono, perché tra di essi vi sono sensibili differenze di tempo. Il fotomoltiplicatore in Q, perciò, non ticchetta.
Ma se avviciniamo i blocchi tra loro, a un certo punto il fotomoltiplicatore in Q inizia a ticchettare! Quando la fenditura tra i due blocchi tende a chiudersi, e vi sono perciò solo pochi percorsi vicini, anche le frecce dei percorsi in direzione di Q cominciano a sommarsi, perché tra loro non vi è quasi più differenza di tempo (fig. 34).


Fig. 34. Se si avvicinano i blocchi in modo che solo pochi percorsi diventino possibili, attraverso la stretta fenditura arriva in Q quasi altrettanta luce che in P, perché non ci sono abbastanza frecce che rappresentano i percorsi fino a Q per elidersi a vicenda.
Naturalmente tutt'e due le frecce risultanti saranno piccole, perché non passa molta luce, essendo la fenditura tanto stretta, ma il rivelatore in Q ticchetta quasi come quello in P! Ecco quindi che se si comprime troppo la luce, per essere sicuri che segua una linea retta, essa rifiuta di collaborare e comincia ad allargarsi.8
L'idea che la luce si propaghi in linea retta è dunque solo una comoda approssimazione per descrivere il suo comportamento in situazioni usuali, analoga a quella che si fa dicendo che, quando la luce si riflette su uno specchio, l'angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza.
Ho mostrato prima un abile trucco con cui far vedere che la luce si riflette sotto molti angoli da uno specchio. Usando un sistema assai simile, possiamo costringere la luce ad andare da un punto a un altro seguendo parecchi percorsi.
Per semplificare, traccerò prima una linea tratteggiata verticale (fig. 35) tra la sorgente e il rivelatore (linea che non ha alcun significato, è solo artificiale!) e considererò soltanto i percorsi costituiti da due tratti rettilinei. Il tempo relativo a ciascun percorso lo riporto su un grafico simile a quello del caso dello specchio (solo che lo disegno rotato di 90 gradi): la linea dei tempi parte da A, all'estremità superiore, curva verso valori più piccoli, perché i percorsi nella zona centrale sono più corti e richiedono meno tempo, e infine si allontana nuovamente.


Fig. 35. L'analisi di tutti i possibili percorsi da S a P è più semplice se si considerano solo i percorsi fatti da due tratti rettilinei (in un solo piano). Il risultato è lo stesso che nel caso reale, più complicato: c'è sempre una curva dei tempi con un minimo, da cui proviene il contributo maggiore alla freccia finale.
Adesso divertiamoci un po' e proviamo a ‘imbrogliare la luce’, facendo in modo che tutti i percorsi richiedano lo stesso tempo. Ma come? Come si può ottenere che il percorso più corto, che passa per M, richieda lo stesso tempo del percorso più lungo che passa per A?
Si ricordi che la luce si muove più lentamente nell'acqua che nell'aria; altrettanto succede nel vetro (che però è molto più facile da lavorare!). Quindi, basterà inserire uno spessore adatto di vetro lungo il percorso più breve, che passa per M, e il tempo richiesto per tale percorso sarà esattamente uguale a quello necessario a passare per A. I percorsi vicini a M, che sono un pochino più lunghi, richiederanno un vetro un po' meno spesso (fig. 36).


Fig. 36. Si può «imbrogliare» la Natura rallentando la luce che segue i percorsi più brevi: inserendo uno spessore adatto di vetro si fa in modo che tutti i percorsi richiedano lo stesso tempo. Allora tutte le frecce hanno la stessa direzione e si ottiene una freccia risultante favolosa — un'enorme quantità di luce! Un siffatto pezzo di vetro costruito in modo da aumentare la probabilità che la luce arrivi dalla sorgente a un dato punto viene detto lente convergente.
Più ci si avvicina ad A, meno vetro occorre inserire per rallentare la luce. Interponendo lungo ciascun percorso lo spessore di vetro appropriato a compensare il ritardo, si possono rendere uguali tra loro tutti i tempi di percorrenza. Disegnando le frecce per i vari possibili percorsi della luce, si trova adesso che si è riusciti ad allinearle tutte (e pensare che sono milioni!), per cui il risultato finale è spettacolare: una freccia risultante di lunghezza sorprendente! Naturalmente avrete capito che sto descrivendo una lente convergente. Sistemando le cose in modo che tutti i tempi siano uguali, si può focalizzare la luce, cioè sì può rendere molto elevata la probabilità che essa arrivi in un punto determinato e molto bassa la probabilità che arrivi in qualsiasi altro punto.
Questi esempi mostrano come l'elettrodinamica quantistica, che a prima vista sembra una teoria assurda, priva di causalità, senza un funzionamento chiaro, senza alcuna concretezza, riproduce fenomeni ben noti, quali la riflessione su uno specchio, la curvatura dei raggi luminosi nel passaggio dall'aria all'acqua, la focalizzazione delle lenti. Essa prevede anche altri fenomeni forse non altrettanto familiari, come il funzionamento del reticolo di diffrazione, e moltissimi altri. In breve, questa teoria descrive con successo qualunque fenomeno in cui interviene la luce.
Gli esempi discussi illustrano come calcolare la probabilità di un evento che può verificarsi in più modi alternativi tra loro: si disegna una freccia per ciascun modo e si sommano le frecce. «Sommare le frecce» vuol dire sovrapporre una coda alla punta precedente e tracciare poi la «freccia risultante». Il quadrato di questa freccia finale rappresenta la probabilità dell'evento.
Per farvi sentire meglio il «gusto» quantistico di questa teoria, vi farò vedere ora come i fisici calcolano la probabilità di un evento composto, cioè di un evento che può essere diviso in una serie di passi o che consiste di vari fatti che accadono indipendentemente.
Un esempio di evento composto lo si ottiene modificando il primo esperimento discusso, in cui alcuni fotoni rossi venivano inviati su una superficie di vetro per misurare la riflessione parziale. Al posto del fotomoltiplicatore (fig. 37) mettiamo uno schermo con un foro che lasci passare i fotoni che giungono in A. Mettiamo poi uno strato di vetro in B e piazziamo il fotomoltiplicatore in C. Come si calcola la probabilità che un fotone partito dalla sorgente arrivi in C?


Fig. 37. Un evento composto può essere analizzato come una successione di passi. In questo esempio il percorso seguito da un fotone per andare da S a C può venire diviso in due passi: 1) il fotone va da S ad A; 2) il fotone va da A a C. Ogni passo, analizzato separatamente, dà luogo a una freccia che può essere considerata da un punto di vista nuovo: come una freccia unitaria (cioè di lunghezza I e che segna le 12) che ha subito una contrazione e una rotazione. In questo esempio il passo 1 comporta una contrazione a 0,2 e una rotazione fino alle 2; il passo 2 una contrazione a 0,3 e una rotazione fino alle 5. L'ampiezza per due passi consecutivi si ottiene contraendo e ruotando in successione: la freccia unitaria iniziale viene ridotta e ruotata in modo da ottenere una freccia di lunghezza 0,2 che segna le 2, la quale viene a sua volta ridotta a 0,3 e ruotata dalle 12 alle 5, come se fosse la freccia unitaria; si ottiene così una freccia di lunghezza 0,06 diretta verso le 7 sul quadrante dell'orologio. Questo procedimento di contrazioni e rotazioni successive viene chiamato «moltiplicazione» delle frecce.
Questo evento può essere considerato come una successione di due passi. Primo passo: un fotone va dalla sorgente fino al punto A, riflettendosi sull'unica superficie del blocco di vetro. Secondo passo: il fotone va da A fino al fotomoltiplicatore in C, riflettendosi sullo strato di vetro in B. A ciascun passo corrisponde una freccia risultante o, come si dice in linguaggio tecnico, una «ampiezza» (d'ora in avanti userò indifferentemente l'uno o l'altro dei due termini), che può essere calcolata sulla base delle regole già note. L'ampiezza relativa al primo passo ha lunghezza 0,2 (il cui quadrato è 0,04, la probabilità di riflessione su una singola superficie di vetro) ed è orientata secondo una certa direzione, poniamo come una lancetta che segni le 2.
Per calcolare l'ampiezza relativa al secondo passo, poniamo provvisoriamente la sorgente di luce in A in modo che i fotoni vengano diretti verso lo strato di vetro B. Disegniamo le frecce per la riflessione frontale e posteriore e sommiamole, ottenendo (mettiamo) una freccia risultante di lunghezza 0,3 diretta verso le 5 sul quadrante dell'orologio.
Come si devono combinare le due frecce per calcolare l'ampiezza per l'evento complessivo? Consideriamole da un punto di vista nuovo: come istruzioni per una contrazione e una rotazione.
Nel presente esempio la prima ampiezza ha lunghezza 0,2 ed è diretta verso le 2. Se si inizia con una «freccia unitaria», cioè con una freccia di lunghezza 1 diretta verso l'alto, la si deve accorciare da 1 a 0,2 e ruotare dalle 12 alle 2. L'ampiezza relativa al secondo passo la si può pensare come una contrazione della freccia unitaria da 1 a 0,3 e una sua rotazione dalle 12 alle 5.
Per combinare le ampiezze relative a entrambi i passi si deve procedere ad accorciare e ruotare in successione. Dapprima si accorcia la freccia unitaria da 1 a 0,2 e la si ruota dalle 12 alle 2, poi si accorcia la freccia così ottenuta da 0,2 a tre decimi di tale valore, e la si ruota dell'angolo compreso tra le 12 e le 5, cioè dalle 2 alle 7. La freccia risultante ha lunghezza 0,06 ed è diretta verso le 7. Essa rappresenta una probabilità data da 0,06 al quadrato, vale a dire 0,0036.
Osservando attentamente questo procedimento, si vede che il risultato di accorciare e girare in successione due frecce è lo stesso che sommare i rispettivi angoli (quello tra le 12 e le 2 + quello tra le 12 e le 5) e moltiplicare tra loro le lunghezze (0,2 × 0,3). È facile capire perché si sommino gli angoli: essi corrispondono alla rotazione della lancetta di un cronometro immaginario, e la rotazione per i due passi consecutivi è ovviamente la somma dell'angolo di cui la lancetta ha girato nel primo passo e di quello di cui ha girato nel secondo.
Soffermiamoci sul perché questo procedimento venga chiamato «moltiplicazione delle frecce»: è una spiegazione interessante. Proviamo per un momento a considerare la moltiplicazione dal punto di vista dei Greci (questa divagazione non ha nulla a che fare con l'argomento della lezione). Per poter usare numeri che non fossero interi i Greci li rappresentavano con dei tratti di linea. Ogni numero può essere espresso trasformando un tratto unitario mediante dilatazioni o contrazioni. Ad esempio, se la linea A rappresenta l'unità (fig. 38), la linea B rappresenta 2 e la linea C rappresenta 3.


Fig. 38. Qualunque numero può essere ottenuto come trasformazione di un tratto unitario mediante contrazioni o dilatazioni. Se il tratto A rappresenta l'unità, B rappresenta 2 (dilatazione) e C rappresenta 3 (dilatazione). La moltiplicazione si ottiene tramite trasformazioni successive. Ad esempio, moltiplicare 3 per 2 significa dilatare la linea unitaria dapprima 3 volte e poi altre 2, ottenendo come risultato una dilatazione di 6 volte, rappresentata dalla linea D. Se si considera D come tratto unitario, il tratto C rappresenta 1/2 (contrazione) e il tratto B rappresenta 1/3 (contrazione). Moltiplicare 1/2 per 1/3 significa contrarre il tratto D prima a 1/2 e poi a 1/3 di tale risultato, ottenendo come risposta una contrazione a 1/6, rappresentata dal tratto A.
Come si fa a moltiplicare 3 per 2? Basta applicare le trasformazioni in successione: partendo dalla linea unitaria A, la si espande 2 volte e poi 3 volte (o 3 volte e poi 2 volte, l'ordine non fa alcuna differenza). Il risultato è la linea D, la cui lunghezza rappresenta 6. E per moltiplicare 1/3 per 1/2? Partendo da D come linea unitaria, la si accorcia prima a 1/2, ottenendo C, e poi a 1/3 di questa. Il risultato è la linea A, che rappresenta 1/6.
La moltiplicazione delle frecce funziona nello stesso modo (fig. 39). Si applicano trasformazioni in successione alla freccia unitaria, solo che le trasformazioni delle frecce coinvolgono due operazioni: contrazione e rotazione.


Fig. 39. I matematici hanno osservato che la moltiplicazione tra frecce può essere espressa come successione di trasformazioni di una freccia unitaria, nel nostro caso mediante contrazioni e rotazioni. Come nella comune moltiplicazione, l'ordine non è importante: si ottiene la stessa risposta, freccia X, moltiplicando la freccia V per W o W per V.
Per moltiplicare la freccia V per la freccia W, si contrae e si ruota la freccia unitaria dell'ammontare prescritto per V, poi si contrae e si ruota il risultato dell'ammontare prescritto per W; anche in questo caso l'ordine non fa differenza. Dunque la moltiplicazione delle frecce segue la stessa regola di trasformazione sequenziale che si applica ai soliti numeri.9
Torniamo al primo esperimento della prima lezione, la riflessione parziale su una singola superficie, avendo in mente questa idea dei passi successivi (fig. 40).


Fig. 40. La riflessione da una superficie singola può essere suddivisa in tre passi, ciascuno dei quali comporta una contrazione e/o una rotazione della freccia unitaria. Il risultato finale è lo stesso di prima: una freccia di lunghezza 0,2 che punta in una certa direzione, ma il nostro metodo di analisi risulta ora più dettagliato.
Possiamo dividere il percorso della luce in tre passi: 1) la luce va dalla sorgente al blocco di vetro, 2) è riflessa dal vetro, 3) va dal vetro al rivelatore. Ogni passo corrisponde a una determinata contrazione e rotazione della freccia unitaria.
Come ricorderete, però, in quella lezione non avevamo preso in considerazione tutti i percorsi che la luce può seguire nel riflettersi sul vetro. Ciò avrebbe richiesto di disegnare e sommare un'enorme quantità di piccole frecce e per evitare troppi dettagli ho dato l'impressione che la luce incida solo in un punto particolare, ossia che non si allarghi. In realtà, nel propagarsi da un punto a un altro, la luce si allarga (a meno che non si usi una lente) e ciò comporta una certa contrazione della freccia unitaria iniziale. Per il momento, tuttavia, manterrò il punto di vista semplificato secondo il quale la luce non si allarga, ed è quindi giustificato trascurare tale contrazione. È anche giustificato ammettere che, non essendovi allargamento, ogni fotone che parte dalla sorgente termina in A o in B.
Dunque, nel primo passo non c'è contrazione ma c'è rotazione, corrispondente all'angolo di cui ruota la lancetta del cronometro immaginario mentre il fotone viaggia dalla sorgente alla superficie frontale del vetro. Dopo il primo passo si ha pertanto una freccia di lunghezza 1 diretta, ad esempio, verso le 5.
Il secondo passo consiste nella riflessione del fotone da parte del vetro. In questo caso c'è una notevole contrazione, da 1 a 0,2 e una rotazione di mezzo giro. (Questi numeri sembrano per ora del tutto arbitrari: essi dipendono dal materiale su cui si riflette la luce, e nella terza lezione si vedrà da dove vengono). Il secondo passo è rappresentato da una freccia di lunghezza 0,2 che segna le 6 (mezzo giro).
Nel terzo passo il fotone viaggia dal vetro al rivelatore. Come nel primo passo, non c'è contrazione ma solo rotazione; supponiamo che la distanza percorsa sia leggermente più breve che nel primo passo e che la freccia si porti sulle 4.
Ora «moltiplichiamo» in successione le frecce 1, 2 e 3 (cioè sommiamo gli angoli e moltiplichiamo le lunghezze). Il risultato finale di questi tre passi, ossia l) rotazione, 2) contrazione e rotazione di mezzo giro, 3) rotazione, è lo stesso di quello trovato nella prima lezione: la rotazione dovuta ai passi 1 e 3 (dalle 12 alle 5 più dalle 12 alle 4) è la stessa di quella trovata lasciando che il cronometro seguisse il fotone per l'intera distanza (dalle 12 alle 9); il mezzo giro in più del passo 2 fa sì che la freccia punti nel verso opposto alla lancetta del cronometro, come accadeva nella prima lezione; infine la contrazione a 0,2 nel secondo passo produce una freccia il cui quadrato rappresenta una probabilità del 4% di riflessione parziale su una superficie singola.
In questo esperimento c'è un problema su cui non ci eravamo soffermati durante la prima lezione: che succede ai fotoni che vanno in B, cioè che attraversano la superficie del vetro? L'ampiezza per questo processo deve avere lunghezza circa 0,98, poiché 0,98 × 0,98 = 0,9604, che è ragionevolmente vicino al 96%. Anche questa ampiezza può essere analizzata riducendo il percorso in vari passi (fig. 41).


Fig. 41. Anche la trasmissione attraverso una singola superficie può essere suddivisa in tre passi, ciascuno dei quali comporta una contrazione e/o una rotazione. Il quadrato di una freccia di lunghezza 0,98 vale circa 0,96 e rappresenta una probabilità di trasmissione del 96% (che combinata con la probabilità di riflessione del 4% dà conto del 100% della luce).
Il primo di questi è uguale a quello del percorso che finisce in A: il fotone va dalla sorgente al vetro, e la freccia unitaria viene ruotata verso le 5.
Nel secondo passo il fotone attraversa la superficie del vetro: non vi è rotazione associata con tale passo, ma una piccola contrazione a 0,98.
Il terzo passo, la propagazione del fotone all'interno del vetro, comporta una ulteriore rotazione, ma nessuna contrazione.
Il risultato finale consiste in una freccia di lunghezza 0,98, con una direzione imprecisata, il cui quadrato, pari a 0,96, dà la possibilità che il fotone arrivi in B.
Consideriamo adesso nuovamente la riflessione parziale da due superfici. La riflessione sulla superficie frontale è la stessa che per una superficie singola, per cui i tre passi coincidono con quelli appena visti (fig. 40).
La riflessione sulla superficie posteriore può invece essere suddivisa in sette passi (fig. 42).


Fig. 42. La riflessione dalla superficie posteriore di una lamina di vetro può essere suddivisa in sette passi. I passi 1, 3, 5 e 7 consistono soltanto in una rotazione; i passi 2 e 6 consistono in una contrazione a 0,98 mentre il 4 consiste in una contrazione a 0,2. Come risultato si ha una freccia di lunghezza 0,192 (approssimata a 0,2 nella prima lezione) ruotata di un angolo corrispondente alla rotazione complessiva della lancetta del cronometro immaginario.
Essi comportano una rotazione pari alla rotazione totale della lancetta del cronometro che segue il fotone lungo l'intero percorso (passi 1, 3, 5 e 7), una contrazione a 0,2 (passo 4) e due riduzioni a 0,98 (passi 2 e 6). La freccia risultante avrà direzione corrispondente alla rotazione totale, come prima, e lunghezza circa 0,192 (= 0,98 × 0,2 × 0,98), arrotondata a 0,2 nella prima lezione.
Riassumendo, le regole che descrivono la riflessione e la trasmissione della luce da parte del vetro sono: 1) la riflessione dall'aria all'aria (sulla superficie frontale) comporta una contrazione a 0,2 e mezzo giro di rotazione; 2) la riflessione dal vetro nel vetro (sulla superficie posteriore) comporta anch'essa una contrazione a 0,2 ma nessuna rotazione; 3) il passaggio dall'aria al vetro o viceversa comporta una contrazione a 0,98 ma nessuna rotazione.












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